图像处理中的数学原理详解10——理解泛函的概念

全文目录请见

图像处理中的数学原理详解（Part1 总纲）

http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/48467225

2.4  从泛函到变分法

做为数学分析的一个分支，变分法（Calculus of Variations）在物理学、经济学以及信息技术等诸多领域都有着普遍而重要的应用。变分法是研究依赖于某些未知函数的积分型泛函极值的广泛方法。换句话说，求泛函极值的方法就称为是变分法。

2.4.1  理解泛函的概念

变分法是现代泛函分析理论的重要组成部分，但变分法倒是先于泛函理论创建的。所以，即便咱们不过深地涉及泛函分析之相关内容，亦可展开对于变分法的学习。而在前面介绍的有关抽象空间的内容基础之上来讨论泛函的概念将是很是方便的。

须要说明的是，此处咱们所讨论的仅限于实数范围内的泛函。

        若是把上述泛函定义中的线性赋范空间局限于函数空间的话，那么也能够从另一个角度来理解此处咱们所要讨论的泛函。

此处所讨论的部分主要是古典变分法的内容。它所研究的主要问题能够归结为：在适当的函数类中选择一个函数使得相似于上述形式的积分取得最值。而解决这一问题又归结为求解欧拉-拉格朗日方程。这看起来并不是一个多么复杂的问题，并且方法也彷佛也日常无奇。但依靠这种方法，咱们惊异地发现原来天然世界中许多千差万别的问题竟然可以使用统一的数学程序来求解，并且奇妙的变分原理还能够用来解释无数的天然规律。在下一小节中，咱们就将从最简泛函开始导出欧拉-拉格朗日方程。

个人“图像处理中的数学原理”专栏中之系列文章已由“清华大学出版社”结集出版，新书的名字为《图像处理中的数学修炼》（Applied Mathematics in Digital Image Processing）。欢迎关注该书——详细介绍图像处理中的数学原理，为你打开一道通往图像世界的数学之门，详细内容及目录请见 http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/48467225