《转》Logistic回归多分类问题的推广算法--Softmax回归

时间 2019-11-06

标签 logistic 回归分类问题推广算法 softmax 栏目应用数学繁體版

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转自 http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92php

简介

在本节中，咱们介绍Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签 $\textstyle y$ 能够取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是颇有用的，该问题的目的是辨识10个不一样的单个数字。Softmax回归是有监督的，不事后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。（译者注： MNIST 是一个手写数字识别库，由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ ）html

回想一下在 logistic 回归中，咱们的训练集由 $\textstyle m$ 个已标记的样本构成： $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ ，其中输入特征 $x^{(i)} \in \Re^{n+1}$ 。（咱们对符号的约定以下：特征向量 $\textstyle x$ 的维度为 $\textstyle n+1$ ，其中 $\textstyle x_0 = 1$ 对应截距项。）因为 logistic 回归是针对二分类问题的，所以类标记 $y^{(i)} \in \{0,1\}$ 。假设函数(hypothesis function) 以下：算法

$\begin{align} h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}, \end{align}$

咱们将训练模型参数 $\textstyle \theta$ ，使其可以最小化代价函数：函数

$\begin{align} J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right] \end{align}$

在 softmax回归中，咱们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 $\textstyle y$ 能够取 $\textstyle k$ 个不一样的值（而不是 2 个）。所以，对于训练集 $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ ，咱们有 $y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\}$ 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，咱们有 $\textstyle k=10$ 个不一样的类别。学习

对于给定的测试输入 $\textstyle x$ ，咱们想用假设函数针对每个类别j估算出几率值 $\textstyle p(y=j | x)$ 。也就是说，咱们想估计 $\textstyle x$ 的每一种分类结果出现的几率。所以，咱们的假设函数将要输出一个 $\textstyle k$ 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 $\textstyle k$ 个估计的几率值。具体地说，咱们的假设函数 $\textstyle h_{\theta}(x)$ 形式以下：测试

$\begin{align} h_\theta(x^{(i)}) = \begin{bmatrix} p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\ p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\ \vdots \\ p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta) \end{bmatrix} = \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\ e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\ \vdots \\ e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\ \end{bmatrix} \end{align}$

其中 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1}$ 是模型的参数。请注意 $\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }$ 这一项对几率分布进行归一化，使得全部几率之和为 1 。优化

为了方便起见，咱们一样使用符号 $\textstyle \theta$ 来表示所有的模型参数。在实现Softmax回归时，将 $\textstyle \theta$ 用一个 $\textstyle k \times(n+1)$ 的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k$ 按行罗列起来获得的，以下所示： spa

$\theta = \begin{bmatrix} \mbox{---} \theta_1^T \mbox{---} \\ \mbox{---} \theta_2^T \mbox{---} \\ \vdots \\ \mbox{---} \theta_k^T \mbox{---} \\ \end{bmatrix}$

代价函数

如今咱们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中， $\textstyle 1\{\cdot\}$ 是示性函数，其取值规则为：3d

$\textstyle 1\{$ 值为真的表达式 $\textstyle \}=1$ ， $\textstyle 1\{$ 值为假的表达式 $\textstyle \}=0$ 。举例来讲，表达式 $\textstyle 1\{2+2=4\}$ 的值为1 ， $\textstyle 1\{1+1=5\}$ 的值为 0。咱们的代价函数为：htm

$\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right] \end{align}$

值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数能够改成：

$\begin{align} J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\ &= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right] \end{align}$

能够看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上很是相似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 $\textstyle k$ 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 $\textstyle x$ 分类为类别 $\textstyle j$ 的几率为：

$p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} }$ .

对于 $\textstyle J(\theta)$ 的最小化问题，目前尚未闭式解法。所以，咱们使用迭代的优化算法（例如梯度降低法，或 L-BFGS）。通过求导，咱们获得梯度公式以下：

$\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] } \end{align}$

让咱们来回顾一下符号 " $\textstyle \nabla_{\theta_j}$ " 的含义。 $\textstyle \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ 自己是一个向量，它的第 $\textstyle l$ 个元素 $\textstyle \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}$ 是 $\textstyle J(\theta)$ 对 $\textstyle \theta_j$ 的第 $\textstyle l$ 个份量的偏导数。

有了上面的偏导数公式之后，咱们就能够将它代入到梯度降低法等算法中，来最小化 $\textstyle J(\theta)$ 。例如，在梯度降低法的标准实现中，每一次迭代须要进行以下更新: $\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ ( $\textstyle j=1,\ldots,k$ ）。

当实现 softmax 回归算法时，咱们一般会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来讲，就是和权重衰减(weight decay)一块儿使用。咱们接下来介绍使用它的动机和细节。

Softmax回归模型参数化的特色

Softmax 回归有一个不寻常的特色：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特色，假设咱们从参数向量 $\textstyle \theta_j$ 中减去了向量 $\textstyle \psi$ ，这时，每个 $\textstyle \theta_j$ 都变成了 $\textstyle \theta_j - \psi$ ( $\textstyle j=1, \ldots, k$ )。此时假设函数变成了如下的式子：

$\begin{align} p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) &= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}. \end{align}$

换句话说，从 $\textstyle \theta_j$ 中减去 $\textstyle \psi$ 彻底不影响假设函数的预测结果！这代表前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来讲， Softmax 模型被过分参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，能够求出多组参数值，这些参数获得的是彻底相同的假设函数 $\textstyle h_\theta$ 。

进一步而言，若是参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ 是代价函数 $\textstyle J(\theta)$ 的极小值点，那么 $\textstyle (\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots, \theta_k - \psi)$ 一样也是它的极小值点，其中 $\textstyle \psi$ 能够为任意向量。所以使 $\textstyle J(\theta)$ 最小化的解不是惟一的。（有趣的是，因为 $\textstyle J(\theta)$ 仍然是一个凸函数，所以梯度降低时不会遇到局部最优解的问题。可是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接致使采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）

注意，当 $\textstyle \psi = \theta_1$ 时，咱们老是能够将 $\textstyle \theta_1$ 替换为 $\textstyle \theta_1 - \psi = \vec{0}$ （即替换为全零向量），而且这种变换不会影响假设函数。所以咱们能够去掉参数向量 $\textstyle \theta_1$ （或者其余 $\textstyle \theta_j$ 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化所有的 $\textstyle k\times(n+1)$ 个参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ （其中 $\textstyle \theta_j \in \Re^{n+1}$ ），咱们能够令 $\textstyle \theta_1 = \vec{0}$ ，只优化剩余的 $\textstyle (k-1)\times(n+1)$ 个参数，这样算法依然可以正常工做。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，每每保留全部参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)$ ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时咱们须要对代价函数作一个改动：加入权重衰减。权重衰减能够解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

权重衰减

咱们经过添加一个权重衰减项 $\textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2$ 来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，如今咱们的代价函数变为：

$\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align}$

有了这个权重衰减项之后 ( $\textstyle \lambda > 0$ )，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就能够保证获得惟一的解了。此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，而且由于 $\textstyle J(\theta)$ 是凸函数，梯度降低法和 L-BFGS 等算法能够保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，咱们须要求得这个新函数 $\textstyle J(\theta)$ 的导数，以下：

$\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j \end{align}$

经过最小化 $\textstyle J(\theta)$ ，咱们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数 $\textstyle k = 2$ 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这代表 softmax 回归是 logistic 回归的通常形式。具体地说，当 $\textstyle k = 2$ 时，softmax 回归的假设函数为：

$\begin{align} h_\theta(x) &= \frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} \end{align}$

利用softmax回归参数冗余的特色，咱们令 $\textstyle \psi = \theta_1$ ，而且从两个参数向量中都减去向量 $\textstyle \theta_1$ ，获得:

$\begin{align} h(x) &= \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} \end{align}$

所以，用 $\textstyle \theta'$ 来表示 $\textstyle \theta_2-\theta_1$ ，咱们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的几率为 $\textstyle \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }$ ，另外一个类别几率的为 $\textstyle 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }$ ，这与 logistic回归是一致的。

Softmax 回归 vs. k 个二元分类器

若是你在开发一个音乐分类的应用，须要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，仍是使用 logistic 回归算法创建 k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，若是你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你能够假设每一个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 $k = 4 的softmax回归。（若是在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你能够添加一个“其余类”，并将类别数 k 设为5。）$

若是你的四个类别以下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并非互斥的。例如：一首歌曲能够来源于影视原声，同时也包含人声。这种状况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每一个新的音乐做品，咱们的算法能够分别判断它是否属于各个类别。

如今咱们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不一样类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归仍是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 如今假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归仍是多个 logistic 回归分类器呢？

在第一个例子中，三个类别是互斥的，所以更适于选择softmax回归分类器。而在第二个例子中，创建三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

中英文对照

Softmax回归 Softmax Regression

有监督学习 supervised learning

无监督学习 unsupervised learning

深度学习 deep learning

logistic回归 logistic regression

截距项 intercept term

二元分类 binary classification

类型标记 class labels

估值函数/估计值 hypothesis

代价函数 cost function

多元分类 multi-class classification

权重衰减 weight decay

《转》Logistic回归 多分类问题的推广算法--Softmax回归