HDU 3304 - Interesting Yang Yui Triangle（数论：Lucas定理）

题意：求杨辉三角第n + 1行中（1 <= n <= 10^9）不能被p（1 <= p <= 1000且 p 为素数）整除的数的个数。

不太会找规律，后来啃题解才慢慢一点点懂的，先说说Lucas定理.

1、了解定理：

Lucas定理：

前提：若 p 为素数；

结论：若求C(n, m) % p，则

将 n 转化为 p 进制的数，分别为 a[k], a[k - 1], a[k - 2], ……, a[1], a[0]；

将 m 转化为 p 进制的数，分别为 b[k], b[k - 1], b[k - 2], ……, b[1], b[0]；

那么C(n, m) % p == ∏( C(a[i], b[i]) ) % p；

即 C(n, m) ≡ ∏( C(a[i], b[i]) )  (mod p)；

（∏为连乘符号）

以上是定理的内容。

2、应用定理分析思路

那么对于杨辉三角第 n + 1 行的数来讲，这些数分别是 C(n, u)   (u = 0, 1, 2, ……, n)；

拿出第 u 个数，要验证它是否能被 p 整除，即验证是否 C(n, u) % p == 0；

根据Lucas定理，先对第 u 个数进行展开（即分别将 n 与 u 转换成 p 进制的数）；

得 ∏( C(a[i], b[i]) )；

若 ∏( C(a[i], b[i]) ) 能被 p 整除，则∏( C(a[i], b[i]) ) % p == 0，则其中任意一项 C(a[i], b[i]) 为 0 便可；

因此，若不能被 p 整除，须要保证全部的项都不为 0；

3、总结思路

由于是求第 n + 1 行的数，因此对于每一项 C(n, u) 中，n 的 p 进制 a[]数组永远不会变；

要保证 ∏( C(a[i], b[i]) ) 全部项 C(a[i], b[i]) 都不为 0，那么即就是保证 a[i] >= b[i]，那么 b[i] 就有 a[i] + 1 种选择（这几种选择是：0, 1, 2, ……, a[i]，共 a[i] + 1 种）；

最后，对于 b[] 的第 i 项都有 a[i] + 1 种选择，最终答案为 ∏( a[i] + 1 ).

代码以下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<sstream>
#include<iterator>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
#define fin freopen("in.txt", "r", stdin)
#define fout freopen("out.txt", "w", stdout)
#define pr(x) cout << #x << " : " << x << "   "
#define prln(x) cout << #x << " : " << x << endl
#define Min(a, b) a < b ? a : b
#define Max(a, b) a < b ? b : a
typedef long long ll;
typedef unsigned long long llu;
const int INT_INF = 0x3f3f3f3f;
const int INT_M_INF = 0x7f7f7f7f;
const ll LL_INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll LL_M_INF = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const double pi = acos(-1.0);
const double EPS = 1e-6;
const int dr[] = {0, 0, -1, 1, -1, -1, 1, 1};
const int dc[] = {-1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 1};
const int MOD = 10000;
using namespace std;

#define NDEBUG
#include<cassert>
const int MAXN = 100 + 10;
const int MAXT = 10000 + 10;

int p, n;

int main(){
    int kase = 0;
    while(scanf("%d%d", &p, &n) == 2 && (p || n)){
        int ans = 1;
        while(n){
            (ans *= n % p + 1) %= MOD;
            n /= p;
        }
        printf("Case %d: %04d\n", ++kase, ans);
    }
    return 0;
}