循环冗余码crc

待编码的有效信息组多项式：M(x)

生成多项式（产生校验码的多项式）：G(x)

余数多项式：R(x)

商：Q(x)

生成多项式是四次的，因此某个多项式除以生成多项式的余式确定是三次的，因此要加四位0000。

 

生成多项式的选择是通过实际应用选择出来的，要知足必定的要求。

R(x)为r阶，在M(x)后面添上r个0（R(x)有r + 1 位）。

M(x)*x^k = Q(x)*G(x) + R(x)

 

模2运算

crc码是基于模2运算而创建编码规律的校验码。模2运算的特色是不考虑进位和借位的运算。其规律以下：

一、模2加和模2减的结果是相等的，即：0 +/- 1 = 1， 0 +/- 0 = 0， 1 +/- 0 = 1， 1 +/- 1 = 0。两个相同的数的模2和恒为0。

二、模2乘是按模2和求部分积之和。（和十进制乘法相似）

三、模2除是按模2减求部分余数。每求一位商应使部分余数减小一位。上商的原则是：当部分余数的首位为1时，上商1；当部分余数的首位为0时，上商0。当部分余数的位数小于除数的位数时，该余数即为最后余数。

               1 1 1 0
            ────────
1 0 1 1〕1 1 0 0 1 0 0
          －1 0 1 1
             ──────
               1 1 1 1
           － 1 0 1 1
              ──────
                 1 0 0 0
             － 1 0 1 1
                ──────
                   0 1 1 0
               － 0 0 0 0
                  ──────
                     1 1 0

例如M(x)=1100

G(x)=1011

用1100000 除以 1011得crc码为1100010

有效信息为4位，校验位为3位，因此有称为(7,4)码。

 

校验方法：

将收到的循环校验码用约定的生成多项式G(x)去除，若是无错，则余数应为0；若是某一位出错，则余数不为0，不一样的出错为对应不一样的余数。对余数补0后继续除下去，余数将按照必定的序列循环下去（循环码的由来）。

 

 

 

 

具体可参考：http://bbs.csdn.net/topics/50365367

如下是在这个网站摘录的笔记：

 

CRC校验码的编码方法是用待发送的二进制数据t（x）除以生成多项式g（x），将最后的余数做为CRC校验码。其实现步骤以下： （1） 设待发送的数据块是m位的二进制多项式t（x），生成多项式为r阶的g（x）。在数据块的末尾添加r个0，数据块的长度增长到m+r位，对应的二进制多项式为 。 （2） 用生成多项式g（x）去除 ，求得余数为阶数为r-1的二进制多项式y（x）。此二进制多项式y（x）就是t（x）通过生成多项式g（x）编码的CRC校验码。 （3） 用 以模2的方式减去y（x），获得二进制多项式 。 就是包含了CRC校验码的待发送字符串。 从CRC的编码规则能够看出，CRC编码其实是将代发送的m位二进制多项式t（x）转换成了能够被g（x）除尽的m+r位二进制多项式 ，因此解码时可 以用接受到的数据去除g（x），若是余数位零，则表示传输过程没有错误；若是余数不为零，则在传输过程当中确定存在错误。许多CRC的硬件解码电路就是按这 种方式进行检错的。同时 能够看作是由t（x）和CRC校验码的组合，因此解码时将接收到的二进制数据去掉尾部的r位数据，获得的就是原始数据。 为了更清楚的了解CRC校验码的编码过程，下面用一个简单的例子来讲明CRC校验码的编码过程。因为CRC-3二、CRC-1六、CCITT和CRC-4的编码过程基本一致，只有位数和生成多项式不同。为了叙述简单，用一个CRC-4编码的例子来讲明CRC的编码过程。 设待发送的数据t（x）为12位的二进制数据100100011100；CRC-4的生成多项式为g（x）= ，阶数r为4，即10011。首先在 t（x）的末尾添加4个0构成 ，数据块就成了1001000111000000。而后用g（x）去除 ，不用管商是多少，只须要求得余数y（x）。下表 为给出了除法过程。 除数次数 被除数/ g（x）/结果     余数 0  1 001000111000000 100111000000  1 0011  0 000100111000000 1  1 00111000000   1000000  1 0011   0 00001000000 2  1 000000 1100  1 0011  0 001100 从上面表中能够看出，CRC编码其实是一个循环移位的模2运算。对CRC-4，咱们假设有一个5 bits的寄存器，经过反复的移位和进行CRC的除法，那么最终该寄存器中的值去掉最高一位就是咱们所要求的余数。因此能够将上述步骤用下面的流程描述： //reg是一个5 bits的寄存器 把reg中的值置0.  把原始的数据后添加r个0.  While (数据未处理完)  Begin  If (reg首位是1)  reg = reg XOR 0011.  把reg中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register的0 bit的位置。  End reg的后四位就是咱们所要求的余数。 这种算法简单，容易实现，对任意长度生成多项式的G（x）都适用。在发送的数据不长的状况下可使用。可是若是发送的数据块很长的话，这种方法就不太适合 了。它一次只能处理一位数据，效率过低。为了提升处理效率，能够一次处理4位、8位、16位、32位。因为处理器的结构基本上都支持8位数据的处理，因此 一次处理8位比较合适。 为了对优化后的算法有一种直观的了解，先将上面的算法换个角度理解一下。在上面例子中，能够将编码过程看做以下过程：  因为最后只须要余数，因此咱们只看后四位。构造一个四位的寄存器reg，初值为0，数据依次移入reg0（reg的0位），同时reg3的数据移出 reg。有上面的算法能够知道，只有当移出的数据为1时，reg才和g（x）进行XOR运算；移出的数据为0时，reg不与g（x）进行XOR运算，至关 与和0000进行XOR运算。就是说，reg和什么样的数据进行XOR移出的数据决定。因为只有一个bit，因此有 种选择。上述算法能够描述以下， //reg是一个4 bits的寄存器 初始化t[]={0011,0000} 把reg中的值置0.  把原始的数据后添加r个0.  While (数据未处理完)  Begin  把reg中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register的0 bit的位置。 reg = reg XOR t[移出的位] End 上面算法是以bit为单位进行处理的，能够将上述算法扩展到8位，即以Byte为单位进行处理，即CRC-32。构造一个四个Byte的寄存器reg，初 值为0x00000000，数据依次移入reg0（reg的0字节，如下相似），同时reg3的数据移出reg。用上面的算法类推可知，移出的数据字节决 定reg和什么样的数据进行XOR。因为有8个bit，因此有 种选择。上述算法能够描述以下： //reg是一个4 Byte的寄存器 初始化t[]＝{…}//共有 ＝256项 把reg中的值置0.  把原始的数据后添加r/8个0字节.  While (数据未处理完)  Begin  把reg中的值左移一个字节，读入一个新的字节并置于reg的第0个byte的位置。 reg = reg XOR t[移出的字节] End 算法的依据和多项式除法性质有关。若是一个m位的多项式t（x）除以一个r阶的生成多项式g（x）， ，将每一位 （0=<k<m）提出来， 在后面不足r个0后，单独去除g（x），获得的余式位 。则将 后获得的就是t（x）由生成多项式g（x）获得的余式。对于CRC-32，能够将每一个字节 在后面补上32个0后与生成多项式进行运算，获得余式和此字节惟一对应，这个余式就是上面算法种t[]中的值，因为一个字节有8位，因此t[]共 有 ＝256项。多项式运算性质能够参见参考文献[1]。这种算法每次处理一个字节，经过查表法进行运算，大大提升了处理速度，故为大多数应用所采用。 摘自：循环冗余校验 CRC的算法分析和程序实现 西南交通大学计算机与通讯工程学院  刘东