山东理工大学网络擂台赛——G.蒟蒻们最后的挣扎（前缀和+异或思想）

山东理工大学网络擂台赛——G.蒟蒻们最后的挣扎（前缀和+异或思想）

题目描述

Description
在 LJJ 的“压迫”下，每一个蒟蒻要出三道题，正所谓哪里有剥削哪里就有反抗，蒟蒻们给强大的 LJJ 出了一道题，若是 LJJ 解出了题，蒟蒻们才心甘情愿给 LJJ 当苦力。问题其实很简单：给你一个区间 L 到 R，要求你求出从 L 异或到 R 的值。可是LJJ还（不）有（屑）很（作）多（这）事（种）要（水）忙（题），因而他找到了你但愿你能写个程序帮他解决这道题。

Input
第一行一个T（1 ≤ L ≤ T ≤ 1e5），表示有 T 组输入。

如下 T 行，每行包含两个整数 L 和 R（1 ≤ L ≤ R ≤ 1e5）用空格分开，表示要求异或和的区间。

Output
对于每组输入，输出一个整数表示 L 到 R 全部数字的异或和

Sample Input
2
1 2
3 6
Sample Output
3
4
Hint
异或（xor）是一个数学运算符。它应用于逻辑运算。异或的数学符号为“⊕”，计算机符号为“xor”。

0 ⊕ 0 = 0，1 ⊕ 0 = 1， 0 ⊕ 1 = 1， 1 ⊕ 1 = 0。

性质：a ⊕ a = 0， a ⊕ 0 = a

C语言中能够用“^”进行异或运算。

样例1: 1 ⊕ 2 = 3,样例 2：3 ⊕ 4 ⊕ 5 ⊕ 6 = 4

个人AC程序

#include <cstdio>

const int maxn = 1e5 + 10;
int xorSum[maxn], t, l, r;

int main()
{
    xorSum[1] = 1;
    for(int i = 2;i < maxn;++i)
    {
        xorSum[i] = i ^ xorSum[i - 1];
    }
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d %d", &l, &r);
        printf("%d\n", xorSum[r] ^ xorSum[l - 1]);
    }
    return 0;
}

算法分析与设计

这题暴力算法确定是$O(nt)$，确定是没法经过的！

这种区间和查询的问题，最简单的思路就是前缀和、差分，其次就是线段树之类的。先看看前缀和，这里的前缀和显然和通常的前缀和不同，普通的前缀和是设定数组$Sum[i]=a[i]+Sum[i-1]$，用加法来描述一种“和”，而这里不是求和，而是求区间的异或。那么异或和求和有什么共同点呢？

求和是前缀的累积再加上当前值，而异或也是前缀的异或累计再异或当前值，这本质上是同样的！

那么有什么区别呢？

在对前缀和进行差分的时候，是直接相减，那是由于：
$$Sum(l,r)=a[l]+\dots +a[r]=Sum[r]-Sum[l-1]$$

而对前缀异或进行差分的时候，是怎样的呢？先推导一下：
$$xorSum(l,r)=(a[1]\oplus \dots \oplus a[r])\oplus (a[1]\oplus \dots a[l-1])$$
这是由于：$(a\oplus b)\oplus b=a$，因此差分能够归结为：
$$xorSum(l,r)=xorSum[r]\oplus xorSum[l-1]$$
综上所述，程序就很好编写了！

结束语

有想要探讨、合做的小伙伴能够关注我，有问题能够发邮件给我，个人邮箱是：2329313458@qq.com