Luogu P4552 IncDec Sequence 题解

IncDec Sequence

题目描述

给定一个长度为 n n n的数列 a 1 , a 2 , a 3 , … ， a n a_1, a_2, a_3,…，a_n a1​,a2​,a3​,…，an​每次能够选择一个区间 [ L , R ] [L,R] [L,R]，使这个区间内的全部数都 + 1 +1 +1或者 − 1 -1 −1。请问至少须要多少次操做才能使数列中全部数都同样，并求出在保证最少次数的前提下，最终获得的数列有多少种。

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分析

这道题用差分作。
对于原数列，求出它的差分数列 b i b_i bi​。咱们如今要作的事情就是：把差分数列 b 2 b_2 b2​ 到 b n b_n bn​所有变为0。那么原题中提供的操做，实际上就能够理解为：选取两个天然数 L R LR LR，让 b [ L ] b[L] b[L]增长1，让 b [ R + 1 ] b[R+1] b[R+1]减小1（这就是差分的最基本原理）。
咱们有这么几种操做的策略：
1.将差分数列（除去 b 1 b_1 b1​）中的正负数相互配对，咱们记差分数列中正数和为 p o s pos pos，咱们记差分数列中负数和的绝对值为 n e g neg neg，那么咱们最多能够操做 min ⁡ { p o s ， n e g } \min\{pos，neg\} min{ pos，neg}次。
2.将 b 1 b_1 b1​和 b i ( i ∈ [ 2 ， n ] ) b_i(i∈[2，n]) bi​(i∈[2，n])配对。
3.将原序列 a i a_i ai​之后全部元素都操做，也就是在差分序列中只改变 b i b_i bi​
4.只改变 b 1 b_1 b1​是没有任何意义的。由于全部数都改变了，仍是没能达到相等。
咱们能发现，操做1对最后相等的那个数是没有改变的。而操做2和操做3对最后的那个数是有影响的。那么操做2和操做3总共须要操做 ∣ p − q ∣ |p-q| ∣p−q∣次。
综上所述，最终最少须要的操做是 min ⁡ { p o s , n e g } \min \{pos, neg\} min{ pos,neg} + ∣ p o s − n e g ∣ + |pos - neg| +∣pos−neg∣ max ⁡ { p o s , n e g } \max\{pos, neg\} max{ pos,neg}。能造成的序列数为 ∣ p o s − n e g ∣ + 1 |pos - neg| + 1 ∣pos−neg∣+1种。

code

int read () { 
    int num = 0; char c = ' '; int flag = 1;
    for (;c > '9' || c < '0'; c = getchar ())
        if (c == '-')
            flag = 0;
    for (;c >= '0' && c <= '9'; num = (num << 3) + (num << 1) + c - 48, c = getchar ());
    return flag ? num : - num;
}
const int maxn = 100200;
long long a[maxn], n, b[maxn];
long long max (long long a, long long b) { 
	return a > b ? a : b;
}
int main () { 
	n = read ();
	for (int i = 1;i <= n;i ++) { 
		a[i] = read ();
		b[i] = a[i] - a[i - 1];
	}
	long long pos = 0, neg = 0;
	for (int i = 2;i <= n;i ++)
		if (b[i] > 0) pos += b[i];
			else neg -= b[i];
	long long ans = max (pos, neg);
	printf ("%lld\n%lld", ans, abs (pos - neg) + 1);
	return 0;
}