树的直径新求法、codeforces 690C3 Brain Network (hard)

树的直径新求法

讲解题目

　　今天考了一道题目，下面的思路二是我在考场上原创，好像没人想到这种作法，最原始的题目，考场上的题目是这样的：

　　你如今有1 个节点，他的标号为1，每次加入一个节点，第i 次加入的节点标号为i+1，且每次加入的节点父亲为已经存在的节点。你须要在每次加入节点后输出当前树的直径。

　　大意：给你$n$个点，最开始时只有一个点，一号节点，而后每一次把第$i$号节点和编号比他小的节点相连，链接一个点后，求树的直径。

样例输入

　　第一行一个整数n。接下来n-1 行，第i+1 行一个数表示标号为i+1 的点的父亲。

6
1
2
2
1
5

样例输出

　　一行n-1 个数，第i 个数表示加入i+1 号点后树的直径。

1 2 2 3 4

思路

　　先说一下常规的作法，咱们看一下题目，会发现一个性质，很好的性质。在每一次加点以后，只有三种状况产生，第一种就是几点以后没有什么用，树的直径仍是以前那个；第二种状况就是当前点和上一次的一个端点组成；而最后一种和第二种同样，只是是和另外一个端点。用字母表示一下就是：设当前直径的表示方法为$(x1,x2)$，表示的是以$x1,x2$为两个端点的链。设新加进来的点为$y$，则新产生的树的直径只有三种状况：$(x1,y)$、$(y,x2)$、$(x1,x2)$。只须要维护一个倍增lca 和每一个点的深度就行啦。这个不难想到（对与大佬们来讲，像我这样的蒟蒻就没想到）。

　　虽然我没有想到，可是我自创了另外一种作法。咱们设$f[i]$表示的是以$i$号节点为根的子树中以$i$为端点的最长长度。这样咱们计算答案时就很好计算了，咱们只须要把新加进来的点旋转到整棵树的根，并更新$f$数组的值，把新加进来的点的$f$数组的值和上一个直径进行对比，去最大值就能够啦。难点就是旋转，你们还记的splay的旋转吗，这道题的旋转和splay的旋转的思路差很少，都是把儿子旋上去。可是相对而言这个更简单，由于咱们不须要存他的儿子有谁，只须要存父亲就行了，可是咱们发现旋转的时候旋下来的点的$f$数组的值会改变，因此咱们须要从新更新。怎么更新呢？咱们每一次都在和当前旋下来的点有一条边相连的全部点中选取$f$值最大的，并加一赋值，但有一个细节，就是这些点中不能包括要选上去的点。每一次更新就好啦。

时间分析

　　可能有人会问，这个不是$O(N^2)$的时间复杂度吗？虽然是指望$log_2^n$层，可是数据卡一卡就能卡成链，退化成$N^2$的算法啦。可是不要忘记，咱们是有旋转操做的，旋来旋去，就成了一棵相似于平衡树的东西，由于你也不知道怎么旋，在没看代码的状况下，因此数据你作不出来，哈哈。再想想，splay的精妙之处不也是这里吗？由于旋转成了平衡树。结束，时间复杂的$O(n*log_2^n)$。是否是很好？

代码

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 200001
int head[N],to[N*2],nxt[N*2];
int ans,idx,n;
int f[N];
int lenth[N];
void add(int a,int b)
{nxt[++idx]=head[a],head[a]=idx,to[idx]=b;}
void change(int p,int from)
{
	if(f[p]) change(f[p],p);
	lenth[p]=0;
	for(int i=head[p];i;i=nxt[i])
		if(to[i]!=from)
			lenth[p]=max(lenth[p],lenth[to[i]]+1);
	f[p]=from;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&f[i]),add(f[i],i),add(i,f[i]);
		change(f[i],i),lenth[i]=lenth[f[i]]+1,f[i]=0;
		ans=max(ans,lenth[i]);
		printf("%d ",ans);
	}
}

　　有不懂得，能够发评论提问，这种作法纯属原创。