二叉树及存储结构

目录

• 1、二叉树的定义
• 2、特殊二叉树
  • 2.1 斜二叉树（Skewed Binary Tree）
  • 2.2 完美二叉树（Perfect Binary Tree）
  • 2.3 彻底二叉树（Complete Binary Tree）
• 3、二叉树的几个重要性质
• 4、二叉树的抽象数据类型定义
  • 4.1 经常使用的遍历方法
• 5、二叉树的存储结构
  • 5.1 顺序存储结构
  • 5.2 链表存储

1、二叉树的定义

二叉树T：一个有穷的结点集合。

• 这个集合能够为空
• 若不为空，则它是由根节点和称为其左子树\(T_L\)和右子树\(T_R\)的两个不相交的二叉树组成。

二叉树具体五种基本形态

二叉树的子树有左右顺序之分

2、特殊二叉树

2.1 斜二叉树（Skewed Binary Tree）

斜二叉树以下图所示：

2.2 完美二叉树（Perfect Binary Tree）

完美二叉树也称做满二叉树（Full Binary Tree）

完美二叉树以下图所示：

2.3 彻底二叉树（Complete Binary Tree）

有n个结点的二叉树，对树中结点按从上至下、从左到右顺序进行编号，编号为\(i(1\leq{i}\leq{n})\)结点与满二叉树中编号为i结点在二叉树位置相同。

彻底二叉树以下图所示：

以下图所示的二叉树即不为彻底二叉树：

3、二叉树的几个重要性质

• 一个二叉树第i层的最大结点树为：\(2^{i-1}, \quad{i}\geq1\)

• 深度为k的二叉树有最大结点总数为：\(2^k -1, \quad k\geq{1}\)

• 对任何非空二叉树T，若\(n_0\)表示叶节点的个数、\(n_2\)是度为2的非叶结点个数，那么二者知足关系\(n_0=n_2+1\)

4、二叉树的抽象数据类型定义

类型名称：二叉树

数据对象集：一个有穷的结点集合。若不为空，则由根节点和其左、右二叉子树组成。

操做集：\(BT\in{BinTree},\quad Item \in ElementType\)，其重要操做有：

1. BooleanIsEmpty(BinTree BT)：判断BT是否为空；
2. void Traversal(BinTree BT)：遍历，按某顺序访问每一个结点；
3. BinTree CreateBinTree()：建立一个二叉树。

4.1 经常使用的遍历方法

接下来介绍几个经常使用的遍历方法，将来会详细讲解。

void PreOrderTraversal(BinTree BT)：先序 --》根、左子树、右子树；

void InOrderTraversal(BinTree BT)：中序 --》左子树、根、右子树；

void PostOrderTraversal(BinTree BT)：后序 --》左子树、右子树、根；

void LevelOrderTraversal(BinTree BT)：层次遍历，从上到下、从左到右

5、二叉树的存储结构

5.1 顺序存储结构

彻底二叉树：按从上至下、从左到右顺序存储，n个结点的彻底二叉树的结点父子关系

• 非根节点（序号i>1）的父结点的序号是\([i/2]\)；
• 结点（序号为i）的左孩子结点的序号是2i（若\(2i\leq{n}\)，不然没有左孩子）；
• 结点（序号为i）的右孩子结点的序号是2i+1（若\(2i+1\leq{n}\)，不然没有右孩子）

通常二叉树也能够采用这种结构，但会形成空间浪费……

5.2 链表存储

/* c语言实现 */

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode{
  ElementType Data;
  BinTree Left;
  BinTree Right;
}

# python语言实现

class TreeNode:
     def __init__(self, x):
         self.val = x
         self.left = None
         self.right = None

单个子节点用下图所示链表表示：

使用链表对整棵树的表示以下：