读《思惟的乐趣matrix67数学笔记》

今天是我第一次据说这个故事。

    1933 年，匈牙利数学家 George Szekeres 还只有 22 岁。那时，他经常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有一样生于匈牙利的数学怪才——Paul Erdős 大神。不过当时，Erdős 只有 20 岁。

    在一次数学聚会上，一位叫作 Esther Klein 的美女同窗提出了这么一个结论：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么必定有四个点，它们构成一个凸四边形。Szekeres 和 Erdős 等人想了好一下子，没想到该怎么证实。因而，美女同窗得意地宣布了她的证实：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只多是五边形、四边形和三角形。前两种状况都已经不用再讨论了，而对于第三种状况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中必定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。

    

    众人大呼精彩。以后，Erdős 和 Szekeres 仍然对这个问题念念不忘，因而尝试对其进行推广。最终，他们于 1935 年发表论文，成功地证实了一个更强的结论：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个正整数 m，使得只要平面上的点有 m 个（而且任意三点不共线），那么必定能从中找到一个凸 n 边形。 Erdős 把这个问题命名为了“幸福结局问题”（Happy Ending problem），由于这个问题让 George Szekeres 和美女同窗 Esther Klein 走到了一块儿，两人在 1936 年结了婚。

    对于一个给定的 n ，不妨把最少须要的点数记做 f(n)。求出 f(n) 的准确值是一个不小的挑战。因为平面上任意不共线三点都能肯定一个三角形，所以 f(3) = 3 。Esther Klein 的结论则能够简单地表示为 f(4) = 5 。
    当 n = 5 时，八个点是不够的。下图就是八个不含凸五边形的点。

    

    利用一些稍显复杂的方法能够证实，任意九个点都包含一个凸五边形，所以 f(5) 等于 9 。

    2006 年，利用计算机的帮助，人们终于证实了 f(6) = 17 。对于更大的 n ， f(n) 的值分别是多少？ f(n) 有没有一个准确的表达式呢？这是数学中悬而未解的难题之一。

    无论怎样，最后的结局真的很幸福。结婚后的近 70 年里，他们前后到过上海和阿德莱德，最终在悉尼定居，期间从未分开过。 2005 年 8 月 28 日， George 和 Esther 相继离开人世，相差不到一个小时。