原码-反码-补码的理解

第一 机器码和真值

在计算机中是以二进制的形式存储的，即机器数其特色是：

• 是有符号的（最高位表示，1：负数；0：整数）
• 其他位表示真正的数字（即真值）

  第二 原码 反码 补码

  原码：
  相似于机器码，是有符号位的。
  反码：
  正数的反码等于其原码自己。
  负数的反码等于其原码的符号位保持不变，其他位取反。
  补码：
  正数的补码=正数的反码=正数的原码
  负数的补码=其反码+1
  例如：8位的±3

有符号数	数值	原码	反码	补码
正数	+3	0000 0011	0000 0011	0000 0011
负数	-3	1000 0011	1111 1100	1111 1101

第三 反码和补码的做用

对于计算机而言，加减乘除是最基本的运算，所以要设计的要尽可能的简单，若是让计算机来辩解符号位，就会增长设计的复杂度，所以工程师设计出了一个方法：让符号位也参加算术的运算， 好比：3-3设计为3 + (-3)，于是对于机器而言只有加法没有减法运算；因而就要用到反码和补码。

• 若是使用反码进行运算：
  3 - 3 = 3 + (-3)
  = 0000 0011 + 1000 0011 #原码
  = 0000 0011 + 1111 1100 #反码
  = 1111 1111 #反码
  = 1000 0000 #原码
  = -0
  当用反码进行计算时，真值部分是对的，可是符号位带有±，对于0而言是没有正负的，若是用正负是没有意义的。且会有两个二进制来编码0.
• 使用补码进行计算
  3 - 3 = 3 + (-3)
  = 0000 0011 + 1000 0011 #原码
  = 0000 0011 + 1111 1100 #反码
  = 0000 0011 + 1111 1101 #补码
  = 0000 0000 #补码
  = 0000 0000 #原码
  = 0
  这样0用0000 0000来表示，则-0则不存在啦,所以下列二进制分别表示8位的127：-128

数字	二进制
127	0111 1111
126	0111 1110
...	......
1	0000 0001
0	0000 0000
-1	1000 0001
...	......
-127	1111 1111
-128	1000 000

第四：同余

floor(x/y) 为地板除法，即所得实数向下取整 或 向上取整-1
            floor(2/3)  = 0  or [0.667]   - 1 = 1 - 1 = 0
            floor(-2/3) = -1 or [-0.667] - 1 = 0 - 1  = -1
    若是两个整数除以M所获得的余数相等，则称该两个整数对于mo模M是相等的。
    如：5 % 3 = 2 ；8 % 3 = 2，则5 和8对于模3是相等的。
    用数学公式表示为：5 ≡  8 （mod 3）
            正数同余数：很好理解 5 % 3 = 2
            负数同余数：X % Y = X - Y * (floor(X / Y)) 
                    如：-2 % 3 = -2 - 3 * floor(-2/3) = -2 - 3 * (-1) = 1

    如何判断一个整数和一个负数是否同余数呢(假设分母为M)?
            正数A = M - |负数B|，则异号的A和B对于M同余数。如-2和1对于3同余数。

   同余数具备如下性质：
   1. 反自身性：
          X ≡ X % M，即自身的余数与自身同余数
   2. 线性性质：
          x1 ≡ y1 % M && x2 ≡ y2 % M,则
          x1 ± x2 ≡ (y1 ± y2) % M
          x1 * x2 ≡ (y1 * y2) % M

    反码：实际上是其一个同余数
    如：1的反码：0000 0001->0000 0001 将其当作原码为：1
          -1的反码：1000 0001->1111 1110  将其当作原码（去掉符号位）：2^7 - 1 -1 = 126
          则负数与其反码（去掉符号位对应的机器码）为同余数，即找到了负数的同余数
          模为正数+|负数|，如126 + |-1| = 127
          2 - 1 ≡ (2 + 126) % 127

          在反码的基础上+1，是增长了模的大小，即增长了转一圈的大小，
   所以用补码所能表示的范围为-128,128，因为0的存在，因此正数往前移动一个单位
   即补码所能表示的范围为：[-128,127]。

第五：左移和右移

左移和右移是在补码上进行操做的，通常会有运算位移和逻辑位移。
    运算位移：符号位不变
    逻辑为宜：符号位发生变化，用0填充空的位
    例如：

int main()
{
    int a = 3;
    int b = -3;
    // 数字    原码            反码           补码           右移
    // 3         0000 0011  0000 0011  0000 0011  0000 0001   // 去掉最右边的（1）
    // -3        1000 0011  1111 1100  1111 1101   1111 1110    // 去掉最右边的
    // 补码->原码：1111 1110 -1 获得反码：1111 1101 取反获得原码：1000 0010（-2）
    printf("a = %d and a >> 1 = %d\n", a, a >> 1);
    printf("b = %d and b >> 1 = %d\n", b, b >> 1);
    return 0;
}

第六：位操做

按位与：&       # 同为1则为1，反之为0
    按位或：|        # 只要有一个为1，则为1，反之为0
    按位异或：^    # 只要不一样（一个1和一个0）则为真，相同为0

int main()
{
    int num1 = 3;
    int num2 = 5;
    int num3 = -3;
    int num4 = -5;
    printf("正数的位操做\n");
    printf("%d & %d = %d\n", num1, num2, num1 & num2);  // 1
    printf("%d | %d = %d\n", num1, num2, num1 | num2);  // 7
    printf("%d ^ %d = %d\n", num1, num2, num1 ^ num2);  // 6
    printf("负数的位操做\n");  
    printf("%d & %d = %d\n", num3, num4, num3 & num4);  // -7
    printf("%d | %d = %d\n", num3, num4, num3 | num4);  // -1
    printf("%d ^ %d = %d\n", num3, num4, num3 ^ num4);  // 6
    printf("负数和正数的位操做\n");
    printf("%d & %d = %d\n", num1, num4, num1 & num4);  // 3
    printf("%d | %d = %d\n", num1, num4, num1 | num4);  // -5
    printf("%d ^ %d = %d\n", num1, num4, num1 ^ num4);  // -8
    return 0;
}

解析：
原码 反码 补码
num1 0000 0011 0000 0011 0000 0011
num2 0000 0101 0000 0101 0000 0101
num3 1000 0011 1111 1100 1111 1101
num4 1000 0101 1111 1010 1111 1011

num1 & num2 = 3 & 5 = 0000 0001 补码=反码=原码=1
num1 | num2) = 3 | 5 = 0000 0111 补码=反码=原码=7
num1 ^ num2) = 3 ^ 5 = 0000 0110 补码=反码=原码=6

num3 & num4) = -3 & -5 = 1111 1001 -> 1111 1000 -> 1000 0111 = -7
num3 | num4) = -3 | -5 = 1111 1111 -> 1111 1110 -> 1000 0001 = -1
num3 ^ num4) = -3 ^ -5 = 0000 0110 -> 补码=反码=原码=6
num1 & num4) = 3 & -5 = 0000 0011 -> 补码=反码=原码=3
num1 | num4) = 3 | -5 = 1111 1011 -> 1111 1010 -> 1000 0101 = -5
num1 ^ num4) = 3 ^ -5 = 1111 1000 -> 1111 0111 -> 1000 1000 = -8

6.1 应用-不借助中间变量交换两个数

int main()
{
    // 进行3次的按位异或操做，并将结果分别保存到第一 第二 第一个操做变量中
    int a = 3;
    int b = 4;
    printf("交换以前：a = %d and b = %d\n", a, b);
    a = a ^ b;
    b = a ^ b;
    a = a ^ b;
    printf("交换以后：a = %d and b = %d\n", a, b);
    return 0;
}

可是用加减法也能够
缺点：可能会溢出（当两个较大的数相加时）

int main()
{
    // 进行1次加法，两次减法操做，并将结果分别保存到第一 第二 第一个操做变量中
    int a = 3;
    int b = 4;
    printf("交换以前：a = %d and b = %d\n", a, b);
    a = a + b;
    b = a - b;
    a = a - b;
    printf("交换以后：a = %d and b = %d\n", a, b);
    return 0;
}

6.2 应用-统计一个整数在内存存放的二进制中有多少个1

int main()
{
    // 由于任何一个数的二进制的补码的最后一位是1，则其和1进行按位与运算则为1，反之为0，进行1..31次位移
    int i;
    int num;
    int count = 0;
    scanf("%d", &num);
    for (i = 0; i < 32; i++) // 由于num占四个字节，32个比特位
    {
        if (1 == ((num >> i) & 1))
        {
            count++;
        }
    }
    printf("%d\n", count);
    return 0;
}

或者

int main()
{
    int num;
    scanf("%d", &num);
    int count = 0;//计数
    while (num)
    {
        count++;
        num = num & (num - 1);
    }
    printf("二进制中1的个数 = %d\n", count);
    return 0;
}