LZW压缩算法原理解析

最近整理Github上之前胡乱写的代码，发现本身还写过压缩算法，大概是不知道何时用来练手的。里面我实现了哈夫曼树，LZW字典和算数编码三种压缩算法，时隔几年几乎没什么印象了，尤为是后两种连原理都基本忘了，因此把它们拎出来整理一下，也算是逼本身作个回忆。

本篇先讲LZW算法，Wiki里给出的介绍和样例其实还不错，不过我在网上并无找到不少其它的比较清晰的讲解，不少都是贴贴代码和流程图了事，因此这里我用我我的的理解，把LZW的原理再整理一遍。

一个简单的例子

LZW编码 (Encoding) 的核心思想其实比较简单，就是把出现过的字符串映射到记号上，这样就可能用较短的编码来表示长的字符串，实现压缩，例如对于字符串：

ABABAB

能够看到子串AB在后面重复出现了，这样咱们能够用一个特殊记号表示AB，例如数字2，这样原来的字符串就能够表示为：

AB22

这里咱们称2是字串AB的记号(Symbol)。那么A和B有没有记号来表示？固然有，例如咱们规定数字0表示A，数字1表示B。实际上最后获得的压缩后的数据应该是一个记号流 (Symbol Stream) :

0122

这样咱们就有一个记号和字符串的映射表，即字典 (Dictionary) ：

Symbol	String
0	A
1	B
2	AB

有了压缩后的编码0122，结合字典，就可以很轻松地解码 (Decoding) 原字符串ABABAB。

固然在真正的LZW中A和B不会用数字0和1表示，而是它们的ASCII值。实际上LZW初始会有一个默认的字典，包含了全部256个8bit字符，单个字符的记号就是它自身，用数字表示就是ASCII值。在此基础上，编码过程当中加入的新的记号的映射，从256开始，称为扩展表(Extended Dictionary)。在这个例子里是为了简单起见，只有两个基础字符，因此规定0表示A，1表示B，从记号2开始就是扩展项了。

字典的生成

这里有一个问题：为何第一个AB不也用2表示？即表示为222，这样不又节省了一个记号？这个问题实际上引出的是LZW的一个核心思想，即压缩后的编码是自解释 (self-explaining) 的。什么意思？即字典是不会被写进压缩文件的，在解压缩的时候，一开始字典里除了默认的0->A和1->B以外并无其它映射，2->AB是在解压缩的过程当中一边加入的。这就要求压缩后的数据本身能告诉解码器，完整的字典，例如2->AB是如何生成的，在解码的过程当中还原出编码时用的字典。

用上面的例子来讲明，咱们能够想象ABABAB编码的过程：

1. 遇到A，用0表示，编码为0。
2. 遇到B，用1表示，编码为1。
3. 发现了一个子串AB，添加映射2->AB到字典里。
4. 后面又出现了AB子串，都用2来编码。

以上过程只是一个概述，并不是真正LZW编码过程，只是为了表示它的思想。能够看出最前面的A和B是用来生成表项2->AB的，因此它们必须被保留在压缩编码里，做为表项2->AB生成的“第一现场”。这样在解码0122的时候，解码器首先经过01直接解析出最前面A和B，而且生成表项2->AB，这样才能将后面出现的2都解析为AB。实际上解码器是本身还原出了编码时2->AB生成的过程。

编码和解码都是从前日后步步推动的，同时生成字典，因此解码的过程也是一个不断还原编码字典的过程。解码器一边解码，向后推动，一边在以前已经解出的原始数据上重现编码的过程，构建出编码时用的字典。

LZW算法详解

下面给出完整的LZW编码和解码的过程，结合一个稍微复杂一点的例子，来讲明LZW的原理，重点是理解解码中的每一步是如何对应和还原编码中的步骤，并恢复编码字典的。

编码算法

编码器从原字符串不断地读入新的字符，并试图将单个字符或字符串编码为记号 (Symbol)。这里咱们维护两个变量，一个是P (Previous)，表示手头已有的，尚未被编码的字符串，一个是C (current)，表示当前新读进来的字符。

1. 初始状态，字典里只有全部的默认项，例如0->a，1->b，2->c。此时P和C都是空的。
 2. 读入新的字符C，与P合并造成字符串P+C。
 3. 在字典里查找P+C，若是:
    - P+C在字典里，P=P+C。
    - P+C不在字典里，将P的记号输出；在字典中为P+C创建一个记号映射；更新P=C。
 4. 返回步骤2重复，直至读完原字符串中全部字符。

以上表示的是编码中间的通常过程，在收尾的时候有一些特殊的处理，即步骤2中，若是到达字符串尾部，没有新的C读入了，则将手头的P对应的记号输出，结束。

编码过程的核心就在于第3步，咱们须要理解P到底是什么。P是当前维护的，能够被编码为记号的子串。注意P是能够被编码为记号，但还并未输出。新的字符C不断被读入并添加到P的尾部，只要P+C仍然能在字典里找到，就不断增加更新P=P+C，这样就能将一个尽量长的字串P编码为一个记号，这就是压缩的实现。当新的P+C没法在字典里找到时，咱们没有办法，输出已有的P的编码记号，并为新子串P+C创建字典表项。而后新的P从单字符C开始，从新增加，重复上述过程。

这里用一个例子来讲明编码的过程，之因此用小写的字符串是为了和P，C区分。

ababcababac

初始状态字典里有三个默认的映射：

Symbol	String
0	a
1	b
2	c

开始编码：

Step	P	C	P+C	P+C in Dict ？	Action	Output
1	-	a	a	Yes	更新P=a	-
2	a	b	ab	No	添加3->ab，更新P=b	0
3	b	a	ba	No	添加4->ba，更新P=a	1
4	a	b	ab	Yes	更新P=ab	-
5	ab	c	abc	No	添加5->abc，更新P=c	3
6	c	a	ca	No	添加6->ca，更新P=a	2
7	a	b	ab	Yes	更新P=ab	-
8	ab	a	aba	No	添加7->aba，更新P=a	3
9	a	b	ab	Yes	更新P=ab	-
10	ab	a	aba	Yes	更新P=aba	-
11	aba	c	abac	No	添加8->abac，更新P=c	7
12	c	-	-	-	-	2

注意编码过程当中的第3-4步，第7-8步以及8-10步，子串P发生了增加，直到新的P+C没法在字典中找到，则将当前的P输出，P则更新为单字符C，从新开始增加。

输出的结果为0132372，完整的字典为：

Symbol	String
0	a
1	b
2	c
3	ab
4	ba
5	abc
6	ca
7	aba
8	abac

这里用一个图来展现原字符串是如何对应到压缩后的编码的:

--

解码算法

解码的过程比编码复杂，其核心思想在于解码须要还原出编码时的用的字典。所以要理解解码的原理，必须分析它是如何对应编码的过程的。下面首先给出算法：

解码器的输入是压缩后的数据，即记号流 (Symbol Stream)。相似于编码，咱们仍然维护两个变量pW (previous word) 和cW (current word)，后缀W的含义是word，实际上就是记号 (Symbol)，一个记号就表明一个word，或者说子串。pW表示以前刚刚解码的记号；cW表示当前新读进来的记号。

注意cW和pW都是记号，咱们用Str(cW)和Str(pW)表示它们解码出来的原字符串。

1. 初始状态，字典里只有全部的默认项，例如0->a，1->b，2->c。此时pW和cW都是空的。
2. 读入第一个的符号cW，解码输出。注意第一个cW确定是能直接解码的，并且必定是单个字符。
3. 赋值pW=cW。
4. 读入下一个符号cW。
5. 在字典里查找cW，若是:
   a. cW在字典里：
     (1) 解码cW，即输出 Str(cW)。
     (2) 令P=Str(pW)，C=Str(cW)的**第一个字符**。
     (3) 在字典中为P+C添加新的记号映射。
   b. cW不在字典里:
     (1) 令P=Str(pW)，C=Str(pW)的**第一个字符**。
     (2) 在字典中为P+C添加新的记号映射，这个新的记号必定就是cW。
     (3) 输出P+C。
6. 返回步骤3重复，直至读完全部记号。

显然，最重要的是第5步，也是最难理解的。在这一步中解码器不断地在已经破译出来的数据上，模拟编码的过程，还原出字典。咱们仍是结合以前的例子来讲明，咱们须要从记号流

0 1 3 2 3 7 2

解码出：

a b ab c ab aba c

这里我用空格表示出了记号是如何依次对应解码出来的子串的，固然在解码开始时咱们根本不知道这些，咱们手里的字典只有默认项，即：

Symbol	String
0	a
1	b
2	c

解码开始：
首先读取第一个记号cW=0，解码为a，输出，赋值pW=cW=0。而后开始循环，依此读取后面的记号：

Step	pW	cW	cW in Dict ？	Action	Output
1	0	1	Yes	P=a，C=b，P+C=ab，添加3->ab	b
2	1	3	Yes	P=b，C=a，P+C=ba，添加4->ba	ab
3	3	2	Yes	P=ab，C=c，P+C=abc，添加5->abc	c

好，先解码到这里，咱们已经解出了前5个字符 a b ab c。一步一步走下来咱们能够看出解码的思想。首先直接解码最前面的a和b，而后生成了3->ab这一映射，也就是说解码器利用前面已经解出的字符，如实还原了编码过程当中字典的生成。这也是为何第一个a和b必须保留下来，而不能直接用3来编码，由于解码器一开始根本不知道3表示ab。而第二个以及之后的ab就能够用记号3破译出来，由于此时咱们已经创建了3->ab的关系。

仔细观察添加新映射的过程，就能够看出它是如何还原编码过程的。解码步骤5.a中，P=Str(pW)，C=Str(cW)的第一个字符，咱们能够用下图来讲明：

注意P+C构成的方式，取前一个符号pW，加上当前最新符号cW的第一个字符。这正好对应了编码过程当中遇到P+C不在字典中的状况：将P编码为pW输出，并更新P=C，P从单字符C开始从新增加。

到目前为止，咱们只用到了解码步骤5.a的状况，即每次新读入的cW都能在字典里找到，只有这样咱们才能直接解码cW输出，并拿到cW的第一个字符C，与P组成P+C。但实际上还有一种可能就是5.b中的cW不在字典里。为何cW会不在字典里？回到例子，咱们此时已经解出了5个字符，继续往下走：

Step	pW	cW	cW in Dict ？	Action	Output
4	2	3	Yes	P=c，C=a，P+C=ca，添加6->ca	ab
5	3	7	No	P=ab，C=a，P+C=aba，添加7->aba	aba
6	7	2	Yes	P=aba，C=c，P+C=abac，添加8->abac	c

好到此为止，后面的 ab aba c 也解码出来了，解码过程结束。这里最重要的就是Step-5，新读入一个cW为7，可7此时并不在字典里。固然咱们事实上知道7最终应该对应aba，但是解码器应该如何反推出来？

为何解码进行到这一步7->aba尚未被编入字典？由于解码比编码有一步的延迟，实际上aba正是由当前的P=ab，和那个还未知的cw=7的第一个字符C组成的，因此cW映射的就是这个即将新加入的子串P+C，也所以cW的第一个字符就是pW的第一个字符a，cW就是aba。

咱们看到解码器在这里作了一个推理，既然cW到目前为止尚未被加入字典，可解码却恰恰遇到了，说明cW的映射并非很早以前加入的，而是就在当前这一步。对应到编码的过程，就是新的cW映射，即7->aba刚被写进字典，紧接着后面的一个字串就用到了它。读者能够对照后半部分 ab aba c 编码的过程，对比解码过程反推，理解它的原理。这也是解码算法中最难的部分。

总结

好了，LZW的编码和解码过程到此就讲解完毕了。其实它的思想自己是简单的，就是将原始数据中的子串用记号表示，相似于编一部字典。编码过程当中如何切割子串，创建映射的方式，其实并非惟一的，可是LZW算法的严格之处在于，它提供了一种方式，使得压缩后的编码可以惟一地反推出编码过程当中创建的字典，从而没必要将字典自己写入压缩文件。试想，若是字典也须要写入压缩文件，那它占据的体积自己就会很大，可能到最后起不到压缩的效果。下一章我会讲解另外一种压缩算法，算数编码。