数论——同余式、剩余类

时间 2019-12-04

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同余式

【定义】任给 $a,b,m\in Z$ ，若是和相差一个的倍数，即，就说与模同余，记为 $a\equiv b\ (\mod m)$ ，并称为同余式的模。ui

这里，可表示为，因此.io

【定理】任给正整数，咱们有：class

整数与模同余当且仅当它们被除所得的余数相同.
模同余是上的等价关系，即有：

$a\equiv a \ (\mod\ m)$ ，（自反性）
$a\equiv b\ (\mod\ m)\ => b\equiv a\ (\mod\ m)$ ，（对称性）
$a\equiv b\ (\mod\ m)$ 且 $b\equiv c\ (\mod\ m)$ ， $=> a\equiv c\ (\mod\ m)$ ，其中为任意的整数. （传递性）

设对 $a,b,c,d\in Z$ 有模同余式 $a\equiv b\ (\mod\ m)$ 与 $c\equiv d\ (\mod\ m)$ ，则

\begin{gather}
a + c \equiv b + d\ (\mod\ m) \\

a-c\equiv b-d\ (\mod\ m) \\

ac\equiv bd\ (\mod\ m)
\end{gather}

对于任意的整系数多项式及整数与

a\equiv b\ (\mod\ m) => P(a)\equiv P(b)\ (\mod\ m)

证实：im

做带余除法，，这里 $u,v\in Z$ 且 $r,s\in \{0,1,\cdots,m-1\}$ .显然 $|r-s|=max\{r,s\}-min\{r,s\}\leq m-1$ ，因而

$a\equiv b\ (mod\ m) <=> m|m(u-v)+r-s <=> m|r-s <=> r-s=0 <=> r=s$

设 $a,b,c\in Z$ ，，故 $a\equiv a \ (\mod\ m)$ ；当时亦有，故 $a\equiv b\ (\mod\ m)\ <=> b\equiv a\ (\mod\ m)$ ； $a\equiv b\ (\mod\ m)$ 且 $b\equiv c\ (\mod\ m)$ ，与被除所得的余数相同且与被除所得的余数相同，与被除所得的余数相同，即 $a\equiv c \ (\mod\ m)$ .

设，这里 $q_1,q_2\in Z$ ，则

$\begin{gather} a\pm c=b\pm d+m(q_1\pm q_2) => a\pm c\equiv b\pm d\ (\mod\ m) \\ ac-bd=a(c-d)+(a-b)d=amq_2+mq_1d=m(aq_2+dq_1) => ac\equiv bd\ (\mod\ m) \end{gather}$

设 $P(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n$ ，这里 $c_0,\cdots,c_n\in Z$ .假如 $a\equiv b\ (mod\ m)$ ，反复运用3知，对 $i=0,1,\cdots,n$ 有 $a^i\equiv b^i\ (mod\ m)$ 与 $c_ia^i\equiv c_ib^i\ (mod\ m)$ ，于是

$P(a)=\sum_{i=0}^{n}c_ia^i\equiv \sum_{i=0}^{n}c_ib^i=P(b)\ (\mod\ m)$

剩余类

【定义】设为正整数，对于 $a\in Z$ ，集合img

\{x\in Z:x\equiv a\ (\mod m)\}=\{x=a+mq: q\in Z \}

叫作模的剩余类（或同余类）。全体模的剩余类构成的集合叫作模的剩余类环。集合