从零开始的伯努利数

伯努利数的坑太多了，目前正全力整合

伯努利数

一般状况下指第一类伯努利数\(B^-\)，递推式为

\[ B_0=1,\sum_{i=0}^n\pmatrix{n+1\\i}B_i=0(n\ge1) \]

其前若干项为\(0,-\frac12,\frac16,0,-\frac1{30},0,\cdots\)，发现对大于1的奇数\(n\)伯努利数\(B_n=0\)。

与第二类伯努利数\(B^+\)的差异在于\(B_1^+=\frac12\)，或者说\(B^+_i=(-1)^iB^-_i\)，暂不研究。

伯努利数的生成函数

伯努利数\(B\)的指数生成函数
\[ F_B(x)=\sum_{i=0}\frac{B_i}{i!}x^i=\frac{x}{e^x-1} \]
能够以以下方式推导
\[ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1}\pmatrix{n\\i}B_i&=0(n\ge2)\\ \sum_{i=0}^{n}\pmatrix{n\\i}B_i&=B_n(n\ge2)\\ \sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}&=\frac{B_n}{n!}(n\ge2)\\ \sum_{n=2}\sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}x^n&=\sum_{n=2}\frac{B_n}{n!}x^n\\ \sum_{n=0}\sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}x^n&=\sum_{n=2}\frac{B_n}{n!}x^n+(\frac{1}{1!}\frac{B_0}{0!}+\frac{1}{0!}\frac{B_1}{1!})x^1+\frac{1}{0!}\frac{B_0}{0!}x^0\\ \sum_{n=0}\sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}x^n&=\sum_{n=0}\frac{B_n}{n!}x^n+x^1\\ F_B(x)\times e^x&=F_B(x)+x\Rightarrow F_B(x)=\frac{x}{e^x-1} \end{aligned} \]
这明面上给出了一个求出伯努利数列\(B\)的前\(n\)项的多项式作法。

伯努利多项式

定义等幂和函数
\[ S_m(n)=\sum_{i=1}^ni^m=\sum_{i=0}^ni^m,m>0 \]
它的多项式表达，即伯努利多项式为
\[ S_m(n)=\frac1{m+1}\sum_{i=0}^m\pmatrix{m+1\\i}B^+_in^{m+1-i} \]
这与如下等式等价
\[ \sum_{i=0}^{n-1}i^m=\frac1{m+1}\sum_{i=0}^m\pmatrix{m+1\\i}B^-_in^{m+1-i} \]

考虑证实这个等式，能够参考Shadowass的博客，略长，且该文给出相关定义有不一样，须留意。

也能够这样证实