单调队列、优先队列
“若是一我的比你年轻还比你强，那你就要被踢出去了……”——单调队列算法
“来来来，神犇巨佬、金牌\(Au\)爷、\(AKer\)站在最上面，蒟蒻都靠下站！！！”——优先队列数组
Part 1：单调队列
单调队列的功能
顾名思义，所谓单调队列，那么其中的元素从队头到队尾必定要具备单调性（单调升、单调降等）数据结构
它被普遍地用于“滑动窗口”这一类\(RMQ\)问题，其功能是\(O(n)\)维护整个序列中长度为\(k\)的区间最大值或最小值spa
单调队列实现原理
滑动窗口问题
给定一个长度为\(n\)的序列\(a\)和一个窗口长度\(k\)，窗口初始覆盖了\(1\rightarrow k\)这些元素code
以后窗口每次向右移一个单位，即从覆盖\(1\rightarrow k\)变成覆盖\(2\rightarrow k+1\)blog
要求求出每次移动（包括初始时）窗口所覆盖的元素中的最大值（如图，花括号内即为被窗口覆盖的元素）继承
数据范围：\(1\leq k\leq n\leq 10^6,a_i\in[-2^{31},2^{31})\)
队列
\(Solution\) \(1：\)暴力碾标算\(O(nk)\)
“越接近暴力的数据结构，能维护的东西就越多”——真理it
线段树和树状数组维护不了众数，但分块能够。你再看暴力，它什么都能维护……io
很简单，每次从窗口最左端扫到最右端，而后取最大值就\(OK\)了
显然在这种数据强度下暴力是过不了的，代码就不给了
\(Solution\) \(2：\)单调队列\(O(n)\)
思考暴力为何慢了：由于窗口每次才移动\(1\)个单位，可是暴力算法每次都重复统计了\(k-2\)个元素
那咱们把中间那一大堆数的最大值记录下来，每次进来一个元素，出去一个元素，统计一下最值，这不就快了吗？
可是，不幸的是，若是出去的那个元素正好是最值，那就得从新统计了
考虑维护一个单调不升队列，每次新元素进来以前，从这个队列的最小值向最大值依次比较
若是这个队列中的一个数\(a\)没有新来的那个元素\(b\)大，那么把\(a\)踢出序列
由于\(a\)必定在新来的数以前出现，它的值没有\(b\)大，因此在以后的统计中\(a\)永远也不可能成为最大值，就不必记录\(a\)了
处理完新元素，如今看看旧元素怎么处理：
一个数\(a\)若是不在窗口里，那么须要把它踢出这个队列，可是若是咱们每次移动都要找到这个\(a\)再踢出，那么复杂度又变成了\(O(nk)\)，显然不行
发现新元素不受旧元素的影响，每次必定会进入到队列里，不会由于旧元素而把新元素卡掉，并且咱们只是查询最大值，因此没有必要严格维护序列里每一个值都在窗口里，只要保证最大值出自窗口里便可
由于这个队列单调不升，因此队头必定是咱们要查询的最大值，那么咱们能够对队头扫描，若是这个队头在窗口以外，把这个队头踢出去，新的队头是原来的第二个元素
重复上述操做，直到队头在窗口里便可，由于序列单调不升，因此队头必定是窗口内的最大值
以上就是单调队列算法的所有内容
复杂度分析
有些刚学的同窗，看到循环\(n\)重嵌套，立刻来一句：这个算法的复杂度是\(O(n^n)\) 的，这是不对的！！！
好比刚才咱们的这个算法，看似每次窗口移动时都要对整个单调队列进行扫描，可是，从整体来看，每一个元素只会入队一次，出队一次，因此复杂度是\(O(n)\)的
核心\(Code\)
struct Node{
int num,und;//num是值,und是下标
Node(){}
}q[1e6+10];
int main(){
int i,head=1,tail=0;//创建单调队列维护k个数中最大值,head是队头,tail是队尾
for(i=1;i<k;i++){//先把k个元素都进来
while(head<=tial&&q[tail].num<a[i]) tail--;//若是队尾没有新元素大,那么在以后的统计中,它永远不可能成为最大值,踢出
q[++tail].und=i,q[tail].num=a[i];//新元素插入队尾
}
for(;i<=n;i++){
while(head<=tail&&q[tial].num<a[i]) tail--;
q[++tail].und=i,q[tail].num=a[i];
while(q[head].und<i-k+1) head++;//队头过期了,踢出
ans[i]=q[head].num;//统计答案
}
}
Part 2：优先队列
一个悲伤的故事背景：
从前，NOI系列比赛禁止使用\(C++STL\)时，优先队列是每个\(OI\)选手必定会熟练手写的数据结构。
可是自从\(STL\)盛行，会手写优先队列的选手愈来愈少了……传统手艺没有人继承，真是世风日下（STL真香）啊……
优先队列的功能
优先队列有另外一个名字：二叉堆
功能是维护一堆数的最大值（大根堆）/最小值（小根堆），存放在堆顶（也就是根）
注意：凡是\(STL\)都自带常数
优先队列实现原理
没错，实现原理就是\(C++STL\)
\(C++STL\)中\(#include<queue>\)头文件为咱们提供了一个免费的优先队列——\(priority\)_\(queue\)，可是不支持随机删除，只支持删除堆顶
优先队列的声明和操做方法
声明方法
std::priority_queue<int>Q;
上面就声明了一个\(int\)类型的大根堆，想要一个小根堆？不要紧，你能够这么写：
std::priority_queue< int,std::vector<int>,std::greater<int> >Q;
或者把每一个数入堆时都取相反数，而后在用的时候再取相反数
对于结构体，咱们还有更骚的操做：重载小于号运算符
struct Node{
int x,y;
Node(){}
}
bool operator < (const Node a,const Node b){ return a.x<b.x; }
std::priority_queue<Node>Q;
这样就是按照\(x\)大小比较的大根堆，若是你想要小根堆，那么把重载运算符改为这句：
bool operator < (const Node a,const Node b){ return a.x>b.x; }
这样，系统就会认为小的更大，因此小的就会跑到堆顶去
可是，如你想要\(int\)类型的小根堆，千万不要重载运算符，这样普通的两个\(int\)数就不能正常比较了（系统会认为小的更大）
经常使用操做命令
//std priority_queue 操做命令 Q.push();//插入元素，复杂度O(logn) Q.pop();//弹出堆顶，复杂度O(logn) Q.size();//返回堆中元素个数，复杂度O(1) Q.top();//返回堆顶元素，复杂度O(1)
奇技淫巧
什么？你想让\(priority\)_\(queue\)支持随机删除，可是又不想手写？（那你可真是懒
可是这能难倒人类智慧吗？显然不能，这里有一个玄学的延迟删除法，能够知足需求
咱们能够维护另外一个优先队列（删除堆），每次要删除一个数（假设为\(x\)）
当须要删除\(x\)的时候，咱们并不去真正的堆里面删除\(x\)，而是把\(x\)加入删除堆
访问维护最值的堆时，看看堆顶是否是和删除堆堆顶同样，若是同样，说明这个数已经被删掉了，在原堆和删除堆中同时\(pop\)掉
这个方法为何对呢？万一原堆的堆顶\(x\)已经被删了，而删除堆的堆顶不是\(x\)，致使找到了错的最值，怎么办呢？
其实这种状况不可能出现。假设咱们维护了一个大根堆，若是删除堆的堆顶不是\(x\)，那必然是一个比\(x\)大的数\(y\)
若是\(y\)尚未被删除，那么比\(y\)小的\(x\)必定还不是堆顶，几回弹出后，堆顶是\(y\)，发现删除堆堆顶一样是\(y\)，\(y\)从原堆和删除堆中删除
换句话说，当原堆的堆顶是\(x\)时，删除堆堆顶和原堆中还须要删除的数必定\(\leq x\)，因此不会找到错误的最值