2008 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

设函数 \(f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\ln(2+t)dt\), 则 \(f'(x)\) 的零点个数（）

( A ) \(0.\)

( B ) \(1.\)

( C ) \(2.\)

( D ) \(3.\)

解析

本题能够使用积分和导数的相关定理解出。

涉及到的积分知识以下：

(1) 定积分基本性质

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt;\)

(2) 变上限积分函数求导

• 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\) 在 \([a,b]\) 上可导，且 \(F'(x)=f(x)\).

• 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，\(\phi(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导，设\(F(x)=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt\), 则：

  \(F'(x)=f[\phi(x)]\cdot\phi'(x)\).

涉及到的求导知识以下：

\((x^{a})'=ax^{a-1};\)

此外，咱们须要知道的是，“函数零点”指的是 \(f(x)=0\) 时，对应的自变量 \(x\) 的数值，“函数零点” 不是一个点，而是一个数值。

解题思路以下：

根据变上限积分函数求导法则，有：

\(f'(x)=\ln(2+x^{2})\cdot(x^{2})'=2x\ln(2+x^{2}).\)

则要求函数 \(f'(x)\) 的零点的个数，就是求 \(2x\ln(2+x^{2})=0\) 的解的个数。

要使 \(2x\ln(2+x^{2})=0\) 成立，则有如下三种状况（分状况讨论时要注意“不重不漏”）：

(1) \(2x=0 且 \ln(2+x^{2})\neq0\)

此时解出 \(x=0\).

(2) \(2x\neq0 且 \ln(2+x^{2})=0\)

无解。

因为 \(1+x^{2}\geq2\) 始终成立，并且当 \(x=1\) 时，\(\ln(x)=0\), 当 \(x>1\) 时，\(\ln(x)>0\).

因此，\(\ln(2+x^{2})>0\) 始终成立，与 \(x\) 轴没有交点。

(3) \(2x=0 且 \ln(2+x^{2})=0\)

\(2x=\ln(2+x^{2})=0 \Rightarrow 无解\).

综上可知，当 \(2x\ln(2+x^{2})=0\) 时，有：

\(x=0\).

所以，只有一个零点，答案是：B

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