算法之时间复杂度

 

前言： 学习这东西，很枯燥也很烦，参考许多博文，选了许多。结合一些东西，记录一下， 也是为了之后回顾学习。

算法效率： 

说到算法效率 ， 不得不提两个指标，那就是

 时间复杂度 

空间复杂度

好的算法应该具有时间效率高和存储量低的特色。

计算机能快速完成大量复杂的数据处理，可是要完成这个工做，计算机也是须要必定的资源的。得根据数据大小和算法来消使用处理器资源。要想程序可以高效的运行，就要考虑到算法的效率问题了。算法效率的评估， 怎么评估呢，那就是这两个指标了。

时间复杂度：评估执行程序所需的时间。能够估算出程序对处理器的使用程度。

空间复杂度：评估执行程序所需的存储空间。能够估算出程序对计算机内存的使用程度。

咱们在设计算法的时候。通常是先考虑系统环境，在考虑时间复杂度和空间复杂度， 中间取一个合适的点，一般时间复杂度要比空间复杂度更容易产生问题，因此咱们大多主要研究时间复杂度。

 

时间频度

一个算法执行所消耗的时间，理论上是不能推论出来的，必须通过机器测试才知道。可是咱们也不可能也没有必要对每一个算法逐个进行上机测试，只须要知道算法花费的时间就能够了。算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪一个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

 

时间复杂度

时间频度T(n) 。  n 为问题的规模,当n不断的变化时，时间频度T(n) 也会随之不断的变化。有时候咱们想知道它的变化呈现出什么规律，因此 有了时间复杂度的概念。

算法中  基本操做重复执行的次数，是问题规模 n 的某个函数 用 T(n) 表示。 若是有某个辅助函数 f (n)，  当n趋近于无穷大的时候，T(n) / f(n) 的极限值为不等于0 的常数。则 f (n) 为T(n) 的同数量级函数，表示为 T(n)=O(f(n))  它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

 

大O表示法

上面用O( ) 来表示算法时间复杂度的记法，称之为大O 表示法。

评估一个算法咱们能够从三个角度来评估： 分别为最理想状况，最坏状况，和平均状况。 从测试结果来看， 平均状况大多和最坏结果持平，并且评估最坏状况也能够避免后面出现的糟糕状况。因此通常状况下，咱们设计算法时都要直接估算最坏状况的复杂度。

大O表示法O(f(n)中的f(n)的值能够为一、n、logn、n²等，所以咱们能够将O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分别能够称为常数阶、线性阶、对数阶和平方阶，那么如何推导出f(n)的值呢？咱们接着来看推导大O阶的方法。 

推导大O阶 
推导大O阶，咱们能够按照以下的规则来进行推导，获得的结果就是大O表示法： 
1.用常数1来取代运行时间中全部加法常数。 
2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 
3.若是最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

常数阶： 

int  m= 0 ;n = 100 //执行一次
m = (1+n)*n/2 ; //执行一次
system.out.prntln(m)// 执行一次

上面算法的运行次数的函数为 f(n) = 3,根据推导大O阶的规则1，咱们常数3改成1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。若是 m = （1+n）*n/2这条语句再执行10遍，由于这与问题大小n的值并无关系，因此这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)，咱们能够称之为常数阶。

线性阶：

线性阶主要分析循环结构的运行状况。

for(int i=0;i<n;i++){
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}

循环体中的代码执行了n次，所以时间复杂度为O(n)。

对数阶 ：

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}

　　number每次乘以2后，都会愈来愈接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，所以得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

 

平方阶：

下面是循环嵌套

 for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=0;j<n;i++){
         //复杂度为O(1)的算法
         ... 
      }

内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，如今通过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。 

 

其余常见复杂度

 

除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有以下时间复杂度： 
f(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)，能够称为nlogn阶。 
f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)，能够称为立方阶。 
f(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)，能够称为指数阶。 
f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)，能够称为阶乘阶。 
f(n)=(√n时，时间复杂度为O(√n)，能够称为平方根阶。

 

算法中常见的f(n)值根据几种典型的数量级复杂度比较

 

 O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )随着n的增长，复杂度提高不大，所以这些复杂度属于效率高的算法，反观O(2ⁿ)和O(n!)当n增长到50时，复杂度就突破十位数了，这种效率极差的复杂度最好不要出如今程序中，所以在动手编程时要评估所写算法的最坏状况的复杂度。

更直观的图：

    T(n)

  

        0               5               10             15              20             25            n

 

T(n)值随着n的值的变化而变化，其中能够看出O(n!)和O(2ⁿ)随着n值的增大，它们的T(n)值上升幅度很是大，而O(logn)、O(n)、O(nlogn)随着n值的增大，T(n)值上升幅度则很小。 
经常使用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)