秀尔算法：破解RSA加密的“不灭神话”

RSA加密 VS 秀尔算法

做为RSA加密技术的终结者——“太多运算，没法读取”的秀尔算法（Shor’s algorithm）不是经过暴力破解的方式找到最终密码的，而是利用量子计算的并行性，能够快速分解出公约数，从而打破了RSA算法的基础（即假设咱们不能颇有效的分解一个已知的整数）。同时，秀尔算法展现了因数分解这问题在量子计算机上能够颇有效率的解决，因此一个足够大的量子计算机能够破解RSA。

RSA加密“曾经”之因此强大，是由于它对极大整数作因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。将两个质数相乘是件很容易的事情，但要找到一个庞大数字的质因子却很是困难。这即是大量现代科技的依靠之处，RSA加密就是凭借其简洁性迅速风靡。

然而，有一种技术可让RSA加密无用武之地。秀尔算法能够破解RSA，可是怎样才能让它真正见效呢？

咱们这里并不是建议你同时尝试全部可能的质因子。

而是使用（相对）简洁的语句：

若是咱们快速找到下面这个周期函数的周期，

 f(x) = m^x (mod N)

咱们即可以破解RSA加密。

秀尔五步走

那么，秀尔算法到底是怎样工做的呢？在秀尔五步法中，只有一步须要是须要用到量子计算机的，其余的步骤则均可以采用传统方法解决。

第一步：

使用传统最大公约数分解（gcd）算法，也就是展转相除法。N是你须要尝试的因子，m则是一个小于N的随机正整数。

若是gcd（m，N）=1，则继续。一旦你使用gcd找到一个因子，你便能得到一个非凡因子，而后结束。

第二步：

找到周期 P

m mod N, m^2 mod N, m^3 mod N

这是使用量子计算的一步。

第三步：

若是周期P是奇数，回到第一步，选择另外一个随机整数。若是不是，继续下一步。

第四步：

检验

若是成立，则继续第五步；反之，回到第一步。

第五步：

解

解得一个非凡素因数N的值，而后你便能破解RSA加密了。

第二步是怎样实现的？

然而，量子计算机是如何找到函数周期的？这又为何如此重要？

咱们来看一下周期 P ：

m mod N, m^2 mod N, m^3 mod N

(因为这是一个指数函数，咱们能够将一个复杂的质数转换成双曲正弦、余弦而后获得周期)

这个发现周期的过程须要依赖量子计算机同时计算许多状态的能力，也就是状态的“叠加”，所以咱们能找到方程的周期。

咱们须要这么作：

一、应用Hadamard gate来建立一个量子叠加态
二、量子转换使方程生效
三、执行量子傅立叶变换

与传统状况相似，在这些转化以后，一个测量值将会产生一个近似方程周期的值（你能够得到“波峰”，就像傅立叶变换中的，而准确性会更高一点）。使用量子傅立叶变换，咱们可以解决排序和因数问题，这两者相同。量子傅立叶变换可让一台量子计算机进行相位估计（酉算子特征值的近似值）。

当你完成量子部分（第二步）的时候，你能够检查一下周期的有效性，而后使用另外一个传统的最大公约数算法获得密钥的质因素。

有趣的是，因为这项技术并非在于找到全部潜在质因数，而是找到潜在周期，你就没必要尝试不少随机数直到找到一个成功的质因数N。若是P是奇数，那你不得不回到第一步，这里

K是一个不一样于N的质因素。所以，即便你加倍密钥长度（N），寻找质因数也不会出现放缓的状况。RSA是不安全的，一样加倍密钥长度也不能帮你抵御量子计算的汹涌来袭，而保障安全。

“破解RSA-2048（2048-bit）的密钥可能须要耗费传统电脑10亿年的时间，而量子计算机只须要100秒就能够完成。” 
                                                          ——Dr. Krysta Svore, 微软研究院

量子傅立叶变换被用于创建量子线路，使得秀尔算法的物理实现成了量子计算机最为轻松的任务之一。

量子傅立叶变换：青出于蓝

秀尔算法的核心是发现顺序，这样即可以减小阿贝尔的隐子群问题，使用量子傅立叶变换即可以解决。——NIST 量子世界

量子傅立叶变换是许多量子算法的关键所在。它并不加速寻找传统傅立叶转变，可是可以在一个量子振幅内执行一个傅立叶变换。在一台量子计算机上能够指数增加般快速处理量子傅立叶变换。虽然超过了直接映射经典傅立叶变换的范畴，量子计算机也能够作其余的事。例如，解决隐子群问题(也就是解决离散对数问题)，或是计数问题(解决了这个问题就能够解决现代密码学中不少其余形式的密码)。更重要的是，量子傅立叶变换能够应用到机器学习、化学、材料科学或者模拟量子系统。

秀尔算法中只有一个步骤是须要在量子计算机上完成的，其余的均可以在普通的超级计算机上完成。量子计算机运行完子程序后就会将结果返回给超级计算机让它继续完成计算过程。量子计算机可能永远不会是单独存在的，而是一直和超级计算机配合执行任务，通过这样的配合它们就能够破解RSA密钥。

由于篇幅有限，不少数学细节和证实过程就再也不赘述了，若是你对这些数学解释感兴趣，若是你具有线性代数、群论、高等数学的知识，你能够看看这些：

Quantum Computer Science

Quantum Information and Quantum Computation

NIST Quantum Zoo — 一个全部量子算法的列表