周期信号的傅里叶变换

为了在统一框架里分析周期信号与非周期信号，能够给周期信号也创建傅里叶变换。 有两种方法求周期信号的傅里叶变换：

*1. 利用傅里叶级数进行构造 ** 对于周期信号$x(t)$，其傅里叶级数展开式为： $$x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}a_ke^{jkw_0t}$$ 系数$a_k$表示为： 因为 说明周期性复指数信号的频谱是一个冲激，那么咱们推广这个关系，可得： 代表：周期信号的傅里叶变换由一系列等间隔的冲激函数线性组合而成，每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处，其强度是傅里叶级数系数的$2\pi$倍。 2. 周期延拓 这种方法先将$x(t)$在一个周期内截断，得信号$x_T(t)$，求出$x_T(t)$的傅里叶变换$X_T(w)$，再对$X_T(w)$周期延拓得$X(w)$。 具体来讲： 根据$\delta$函数性质，有： $$x(t) = x_T(t)\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(t - kT)$$ 设周期冲激串$\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(t - kT)$的傅里叶变换为$F(w)$， 由时域卷积定理： $$X(w) = X_T(w)F(w)$$ 又时域周期为T的周期冲激串的傅里叶变换在频域是一个周期为$\frac{2\pi}{T}$的周期冲激串，即： $$F(w) = \frac{2\pi}{T}\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(w - \frac{2\pi k}{T})$$ 故可得： $$X(w) = \frac{2\pi}{T}X_T(w)\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(w - \frac{2\pi k}{T})$$ 也就是： $$X(w) = w_0\sum_{k = -\infty}^{+\infty}X_T(kw_0)\delta(w - kw_0)$$ 咱们对比两种方法获得的结果，可知： 周期信号傅里叶级数的系数$a_k = \frac{1}{T}X_T(kw_0)$