暑假集训Day 7 李时珍的皮肤衣

题目大意

LSZ很皮！LSZ的皮肤衣更皮！

LSZ有不少件神奇的皮肤衣，并且LSZ老是喜欢一次穿上多件皮肤衣（一件套一件，并且一直穿好多天），这些皮肤衣有透明或不透明两种状态，当不透明的皮肤衣吸取了一天的阳光直射后，就会变成透明的皮肤衣，透明的皮肤衣能使阳光照射到里层皮肤衣，而透明的皮肤衣再吸取阳光，会在次日会变成不透明的皮肤衣，不透明的皮肤衣会阻止阳光照射到里层皮肤衣。

LSZ从某天起（该天算做第1天）穿上N(N <= \(4*10^{9}\))件皮肤衣（刚开始全部皮肤衣都是不透明的），问你最少要通过多少天，LSZ身上的皮肤衣都经历过透明变化？

例现在天（公元2018年6月17日）LSZ穿了3件皮肤衣服，会在公元2018年6月21日3件皮肤衣都会经历过透明变化。

输入格式

一行，只有一个整数N。

输出格式

最少的天数（对N取余数）

样例

样例输入

3

样例输出

2

样例解释

• 使用0表明皮肤衣透明状态。
• 使用1表明皮肤衣不透明的状态。

5对3取余数为2。

算法分析：

这个题算是一个比较裸的数论的题了吧，很显然的式子，先来定义一个数组f[i]表示有i个衣服要变透明所须要的天数

• 若是咱们要求f[n] ：咱们只须要把第n个变成0就能够了 前提是将前n-1个由1变成0 假设咱们已经知道了前n-1个由1变成0须要的天数为x 则f[n]就是下x+1
• 若是求f[n+1]呢：那么咱们再去推第n+1个变成0的天数 前提是前n个变成0的时间 前n个都是0须要 前n-1个变成0 而后第n个变成0 而后前n-1个再变成0 而后再加1（使第n+1个变成0）因此f[n+1] = x+1+x = 2(x+1)-1 = 2f[n]-1
• 将f[n+1]和f[n]创建关系了 可是对于\(4*10^{10}\)这样大的数据显然没法经过递推求解，因此咱们须要一个通式，先来f[1] = 2 ,f[2] = 3，经过一点点数学方法（等比数列加代换或者直接眼暴）很容易就知道f[n] = \(2^{n-1} - 1\)
• 而后就能够求解了 那咱们的主要问题就变成了怎么求\(2^{n-1}-1\) （显然快速幂呗）
• 而后就是个快速幂板子了

代码展现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll power(ll a,ll b,ll p){
	ll ans = 1%p;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1)ans = ans*a%p;
		a = a * a % p;
	}
	return ans;
}

int main(){
	ll n;scanf("%lld",&n);
	ll ans = power(2,n-1,n);
	ans = (ans + 1)%n;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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