动画 | 什么是红黑树？（与2-3树等价）

学习过2-3树以后就知道应怎样去理解红黑树了，若是直接看「算法导论」里的红黑树的性质，是看不出因此然。咱们也看看一颗二分搜索树知足红黑的性质：

1.每一个节点或是红色的，或是黑色的；

2.根节点是黑色的；

3.每一个叶子节点（NIL）是黑色的；

4.若是一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的；

5.对每一个节点，从该节点到其全部后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。

若是说前面4个还算理解，那第5个性质又是怎么去理解呢？此时咱们借着2-3树去理解基本的红黑树，固然我会在后几篇文章介绍2-3-4树以及基于2-3-4树的红黑树。

抛开上面二分搜索树知足红黑的性质，咱们知道2-3树不是二叉树，咱们把它转换成一颗二叉树，2-节点很好转，3-节点转二叉却有两种，以下图：

红黑是指被指向节点的连接颜色，对于一颗2-3树，由于3-节点的存在有不少不一样的二叉树的表示，因此咱们只考虑左倾的状况。

左倾红黑树和2-3树等价的定义

红黑树的定义是含有红黑连接并知足下列条件的二分搜索树：

1.红连接均为左链接；

2.没有任何一个节点同时和两条红连接相连；

3.该树是完美黑色平衡的，即任意空连接到根节点的路径上的黑连接数量相同（和2-3树等价的，任意节点到其叶子节点的高度都是相同的）。

由于2-3树不存在永久的4-节点，4-节点终归要分解的（在2-3-4树中，为了更好地插入和删除，4-节点只存在于叶子节点，非叶子节点和2-3树同样的），因此在2-3树中没有任何一个节点能同时和两条红连接相连。对于第3条，2-3树自己是绝对平衡的，将3-节点转成二叉只增长了左红连接，其余黑连接没有什么变化，依然是黑色平衡的。

查找元素

查找命中和二分搜索树同样，从根节点开始，若是查找命中则返回，不然比它小的进行左递归查找，比它大的进行右递归查找，直到查找为空。

写插入元素和删除元素以前，仍是要先介绍一下旋转和颜色转换。

旋转

在插入或者删除操做中可能会出现右倾或者两条连续的红连接，在向上变换的过程当中（恢复）都要调整为左倾。

假设有一条红色的右连接须要转为左连接，以下图所示：

这个操做叫作左旋转，右连接变成左连接，意味着被红连接指向的节点会变成红色，根节点默认是黑色。

右旋转也同样，不过在左倾红黑树中，只有出现两条连续红色的左链接才会进行右旋转，以下图：

Code：左旋转和右旋转

颜色转换

颜色转换是用在临时4-节点上的，无论是向下变换仍是向上变换。

Code：颜色转换

插入元素

插入元素也须要先进行查找命中，查找未命中则在此节点（NIL）插入一个元素，是在红黑树底下插入一个红色节点，插入元素默认是红色节点。

若是红黑树目前是一颗空树，能够直接存储一个元素做为节点，而后该节点变成黑色。若是不是一颗空树，插入元素分两种状况：向2-节点插入新元素和向3-节点插入新元素。

向2-节点插入新元素有两种状况

向2-节点插入新元素很简单，若是新元素小于父节点的元素，直接插入红色的节点便可；若是新元素大于父节点的元素，则产生一个红色右连接，插完以后进行向上变换，在向上变换的过程当中（修复红黑树的性质）须要进行左旋转，将右连接变成左连接，知足左倾红黑树的性质。

向3-节点插入新元素有三种状况

1.新元素小于3-节点最小值

2.新元素位于3-节点最小值和最大值之间

3.新元素大于3-节点最大值

插入元素只有向上变换的过程，目的是为了知足红黑性质。

动画：插入节点

算法动画地址：B站

Code：插入元素

删除元素

删除元素既有向下变换也有向上变换：向下变换是为了树底下有一个被红连接指向的节点能够被删除，不影响黑色平衡；向上变换是为了修复基于2-3树的左倾红黑树。

Code：向上变换（修复调整）

删除元素有4个原则：

1.删除元素的当前节点不能是2-节点；

2.向下变换不为2-节点；

3.从树底部删除节点；

4.向上变换，消除右倾和4-节点。

删除元素借鉴了以前学的二分搜索树删除元素的思想，二分搜索树删除元素分为删除最小元素、删除最大元素和删除任意元素三种状况：删除最小元素是一直递归它的左孩子，直到左孩子为空才进行删除；删除最大的元素则相反；若是是删除任意的元素须要进行命中查找，找到了就取右子树的最小值替换掉待删除元素，而后进行右子树的删除最小元素。

红黑树删除元素也是同样的，不过是多了向下变换和向上变换的过程。由于是左倾红黑树，删除最小元素是最合适的。

删除最小元素

「算法4」里的红黑树介绍了删除最小键这一小节，虽没有很详细地介绍，但给出了沿着左连接向下变换的三种状况：

1.若是当前节点（父节点位置）的左子节点不是2-节点，完成；

2.若是当前节点（父节点位置）的左子节点是2-节点而左子节点的兄弟节点不是2-节点，则左子节点借它的兄弟节点的一个键过来；

3.若是当前节点（父节点位置）的左子节点和左子节点的兄弟节点都是2-节点，将左子节点、当前节点和左子节点的兄弟节点合并成一个临时的4-节点，使当前节点由3-节点变成2-节点或则4-节点变成3-节点。

Code：moveRedLeft

删除最大节点思路也是同样的，不过这是左倾红黑树，对删除最大节点益处不大，甚至向下转换的时候左倾调整为右倾，向上转换balance还要将右倾调整为左倾。

动画：删除最小元素

算法动画地址：B站

Code：删除最小元素

删除任意元素

在前面学习了删除最小节点，删除任意节点天然就很简单了。咱们若是要删除一个节点，首先进行命中查找，查找到这个待删除元素，将右子树的最小值替换掉这个待删除元素，指向待删除节点的连接颜色不能被改变。而后进行右子树的删除最小元素。

在命中查找过程当中，须要沿着左连接或沿着右连接进行向下转换。前面删除最小元素就是沿着左连接向下转换的。

沿着右连接向下转换也分三种状况：

1.若是当前节点（父节点位置）的右子节点不是2-节点，将左倾转换成右倾；

2.若是当前节点（父节点位置）的右子节点是2-节点而右子节点的兄弟节点不是2-节点，则右子节点借它的兄弟节点的一个键过来；

3.若是当前节点（父节点位置）的右子节点和右子节点的兄弟节点都是2-节点，将右子节点、当前节点和右子节点的兄弟节点合并成一个临时的4-节点，使当前节点由3-节点变成2-节点或则4-节点变成3-节点。

Code：moveRedRight

Code：删除任意元素

动画：删除任意元素

算法动画地址：B站

阅读原文可查看算法4里的RedBlackTree.java源码

点击源码

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