天然常数e的意义

出处：http://www.fengchang.cc/post/104

这两天看黎曼猜测的新闻刷屏，虽然这个猜测还未获得证实，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜测（或其推广形式）的成立为前提。反复见之因而想了解一下，不过了解以前顺便先看下相关的这个天然对数。

中学数学都知道e是一个常量，无理数，重要性不亚于圆周率，值约等于2.71828。可是这彻底不能算是一个定义，也彻底摸不清头脑这个数从何而来。

不过如今若是稍微搜一下就能够知道这个数的数学定义式：

e为下式在n趋向于无穷大的极限：  (1 + 1/n)n 

到这里，数学定义出来了，但一个数学常量之因此重要，必定是它的应用范围很是广，那么光看这个式子，还不足以知道为何它的应用范围广。

不过这里能够先给一个符合直觉的，假设的一个应用场景。

 

假设你往银行存了1块钱，银行按年记利息，利率100%，那么一年后，本息和一共翻了多少倍？这个很简单，答案是2倍，由于利息1块加本金1块，就是2块，比上原来的1块就是2倍（好多余的推理，不过不急，看后面）。

如今假设银行比较勤快，不是一年计息一次，而是半年计息一次，那么一年后本息和是多少倍？首先半年这个时间点本息和为1+1*100%，也就是2块钱，一年这个时间点，前面的两块钱会产生复利，就至关于2+2*100%，就是4块钱，因此半年计息一次就变成了4倍！是否是发现本身赚大了？

不过银行固然不是傻的，凭啥我缩短成半年计息一次利率不变呢？好，假设如今银行变聪明了，改为半年计息一次后，利率也相应调低，调低的规则是计息期缩短多少倍，利率就缩小多少倍。也就是说，计息变成半年后，利率缩减至50%。这种状况下一年后的收益增加是是多少倍呢？简单按照复利公式就知道是(1+50%)^2=2.25倍，虽然没有4倍那么多，可是好歹比2倍仍是要好对吧？

那么再继续往下作一个推演，如今假设再把计息期缩短一点，变成三分之一年(4个月)计息一次，利率相应缩减为33.33333...%,这种状况一年后的增加倍数是？继续套用复利公式：(1+33.333333...%)^3=2.37037037037

怎么样，发现比2.25倍又赚更多了一点？

好了，事不过三，我就不往下作推演了，有兴趣能够本身推演计息期变成1/4年，1/5年，1/6年的状况，记得利率也作相应调整。

不过我用Python画了个图，表示从一年一期到1/1000年一期计息的赚钱倍数的规律如图：

源代码以下：

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import matplotlib.pyplot as plt import math   def natural(n):     return math.pow(1+1/n, n) t = range(1,1000) plt.plot(t, [natural(v) for v in t]) plt.show()

能够看出的结论是，随着计息期切分得越短，你的资产增加倍数会愈来愈大。可是并不会无限大，而是趋于收敛（日后走线条几乎就停滞了）。这个收敛的值就是2.718281828459...无限长，也就是天然常数e. 因此按照以上的计息期的控制方法，银行就算把计息期缩减到无限短，到年末你也最多能获得e倍的原始本金，这就到顶了，不会再多了。

 

这就是一个最直观的天然常数的理解。虽然不像圆周率那样周长比直径那么直观，但其重要性却不亚于圆周率。然而正是由于这个不直观，因此这个概念的提出比圆周率要晚得多得多。下面是查询到的历史：

 

第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著做附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张天然对数列表，一般认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制做。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。

 

总结来讲就是十七世纪有人提出相近的东西，而后过了一百多年才正式有人定义并运用这个常数。相比圆周率，中国在东汉时期（公元三世纪）就已经有比较精确的计算了。因此可见其“不直观”的程度。

 

不过发现晚不影响其应用广，至于怎么应用，对数表的绘制是一个应用之一，也是e其重要起源之处。相信牛顿那批人在作计算的时候常常碰到这个极限值，因此逼不得已提出了这个常数，我就不展开说了。总之能够理解为在某种规则下（好比上面银行设定的那种计息期和利率的规则下）的增加率极限，而这种增加规则在宇宙中很是常见，广泛，于是很是重要。