无向图的最短路径求解算法之——Dijkstra算法

    在准备ACM比赛的过程当中，研究了图论中一些算法。首先研究的即是最短路的问题。《离散数学》第四版（清华大学出版社）一书中讲解的Dijkstra算法是我首先研究的源材料。

      如何求图中V0到V5的最短路径呢？

        java实现的方式以下： 

       第一步，根据图来创建权值矩阵：

       int[][] W = { 
    {  0,   1,   4,  -1,  -1,  -1 },
    {  1,   0,   2,   7,    5,  -1 },
    {  4,   2,   0,  -1,    1,  -1 },
    { -1,  7,  -1,   0,    3,    2 },
    { -1,  5,    1,   3,   0,    6 },
    { -1, -1,  -1,   2,   6,    0 } };(-1表示两边不相邻,权值无限大)

例如：W[0][2]=4 表示点V0到点V2的权值为4

W[0][3]=-1表示点V0与V3不相邻，因此权值无限大。

第二步：对V0标号；V0到其它点的路径获得 distance: {0,1,4,-1,-1,-1}; 找到V0到各点中权值最小的那个点（标号的点除外,-1表明无限大），故获得1即对应的下标1，获得V1；对V1标号，而后更改V0经过V1到其它点的路径获得 distance: { 0, 1, 3, 8, 6, -1}; 

第三步：找到distance中权值最小的那个点，（标号的点除外）获得V2,对V2标号，而后更改V0经过V1->V2到其它点的路径获得 distance: { 0, 1, 3, 8, 4, -1}; 

第四步：找到distance中权值最小的那个点，（标号的点除外）获得V4,对V4标号，而后更改V0经过V1->V2到其它点的路径获得 distance: { 0, 1, 3, 7, 4, 10}; 

第四步：找到distance中权值最小的那个点，（标号的点除外）获得V3,对V3标号，而后更改V0经过V1->V2到其它点的路径获得 distance: { 0, 1, 3, 7, 4, 9}; 

最后只剩下V5没有被标号，就找到V5了。结束！

源代码以下：

package com.xh.Dijkstra;

//这个算法用来解决无向图中任意两点的最短路径
public class ShortestDistanceOfTwoPoint_V5 {
    public static int dijkstra(int[][] W1, int start, int end) {
        boolean[] isLabel = new boolean[W1[0].length];// 是否标号
        int[] indexs = new int[W1[0].length];// 全部标号的点的下标集合，以标号的前后顺序进行存储，其实是一个以数组表示的栈
        int i_count = -1;//栈的顶点
        int[] distance = W1[start].clone();// v0到各点的最短距离的初始值
        int index = start;// 从初始点开始
        int presentShortest = 0;//当前临时最短距离

        indexs[++i_count] = index;// 把已经标号的下标存入下标集中
        isLabel[index] = true;

        while (i_count<W1[0].length) {
            // 第一步：标号v0,即w[0][0]找到距离v0最近的点

            int min = Integer.MAX_VALUE;
            for (int i = 0; i < distance.length; i++) {
                if (!isLabel[i] && distance[i] != -1 && i != index) {
                    // 若是到这个点有边,而且没有被标号
                    if (distance[i] < min) {
                        min = distance[i];
                        index = i;// 把下标改成当前下标
                    }
                }
            }
            if (index == end) {//已经找到当前点了，就结束程序
                break;
            }
            isLabel[index] = true;//对点进行标号
            indexs[++i_count] = index;// 把已经标号的下标存入下标集中
            if (W1[indexs[i_count - 1]][index] == -1
                    || presentShortest + W1[indexs[i_count - 1]][index] > distance[index]) {
                // 若是两个点没有直接相连，或者两个点的路径大于最短路径
                presentShortest = distance[index];
            } else {
                presentShortest += W1[indexs[i_count - 1]][index];
            }

            // 第二步：将distance中的距离加入vi
            for (int i = 0; i < distance.length; i++) {
                // 若是vi到那个点有边，则v0到后面点的距离加
                if (distance[i] == -1 && W1[index][i] != -1) {// 若是之前不可达，则如今可达了
                    distance[i] = presentShortest + W1[index][i];
                } else if (W1[index][i] != -1
                        && presentShortest + W1[index][i] < distance[i]) {
                    // 若是之前可达，但如今的路径比之前更短，则更换成更短的路径
                    distance[i] = presentShortest + W1[index][i];
                }

            }
        }
        //若是所有点都遍历完，则distance中存储的是开始点到各个点的最短路径
        return distance[end] - distance[start];
    }
    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个权值矩阵
        int[][] W1 = { //测试数据1
                { 0, 1, 4, -1, -1, -1 },
                { 1, 0, 2, 7, 5, -1 },
                { 4, 2, 0, -1, 1, -1 },
                { -1, 7, -1, 0, 3, 2 },
                { -1, 5, 1, 3, 0, 6 },
                { -1, -1, -1, 2, 6, 0 } };
        int[][] W = { //测试数据2
                { 0, 1, 3, 4 },
                { 1, 0, 2, -1 },
                { 3, 2, 0, 5 },
                { 4, -1, 5, 0 } };

        System.out.println(dijkstra(W1, 0,4));

    }
}

若是须要求无向图各个点的最短距离矩阵，则屡次运用dijkstra算法就能够了，代码以下：

package com.xh.Dijkstra;

//这个程序用来求得一个图的最短路径矩阵
public class ShortestDistance_V4 {
    public static int dijkstra(int[][] W1, int start, int end) {
        boolean[] isLabel = new boolean[W1[0].length];// 是否标号
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        int[] indexs = new int[W1[0].length];// 全部标号的点的下标集合
        int i_count = -1;
        int index = start;// 从初始点开始
        int presentShortest = 0;
        int[] distance = W1[start].clone();// v0到各点的最短距离的初始值
        indexs[++i_count] = index;// 把已经标号的下标存入下标集中
        isLabel[index] = true;
        while (true) {
            // 第一步：标号v0,即w[0][0]找到距离v0最近的点

            min = Integer.MAX_VALUE;
            for (int i = 0; i < distance.length; i++) {
                if (!isLabel[i] && distance[i] != -1 && i != index) {
                    // 若是到这个点有边,而且没有被标号
                    if (distance[i] < min) {
                        min = distance[i];
                        index = i;// 把下标改成当前下标
                    }
                }
            }
            if (index == end) {
                break;
            }
            isLabel[index] = true;
            indexs[++i_count] = index;// 把已经标号的下标存入下标集中
            if (W1[indexs[i_count - 1]][index] == -1
                    || presentShortest + W1[indexs[i_count - 1]][index] > distance[index]) {
                presentShortest = distance[index];
            } else {
                presentShortest += W1[indexs[i_count - 1]][index];
            }

            // 第二步：奖distance中的距离加入vi
            for (int i = 0; i < distance.length; i++) {
                // 若是vi到那个点有边，则v0到后面点的距离加
                // 程序到这里是有问题滴！ 呵呵
                if (distance[i] == -1 && W1[index][i] != -1) {// 若是之前不可达，则如今可达了
                    distance[i] = presentShortest + W1[index][i];
                } else if (W1[index][i] != -1
                        && presentShortest + W1[index][i] < distance[i]) {
                    // 若是之前可达，但如今的路径比之前更短，则更换成更短的路径
                    distance[i] = presentShortest + W1[index][i];
                }

            }
        }
        return distance[end] - distance[start];
    }

    public static int[][] getShortestPathMatrix(int[][] W) {
        int[][] SPM = new int[W.length][W.length];
        //屡次利用dijkstra算法
        for (int i = 0; i < W.length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < W.length; j++) {
                SPM[i][j] =dijkstra(W, i, j);
                SPM[j][i] = SPM[i][j];
            }
        }
        return SPM;
    }

    public static void main(String[] args) {
        /* 顶点集：V={v1,v2,……，vn} */
        int[][] W = { { 0, 1, 3, 4 }, { 1, 0, 2, -1 }, { 3, 2, 0, 5 },
                { 4, -1, 5, 0 } };
        int[][] W1 = { { 0, 1, 4, -1, -1, -1 }, { 1, 0, 2, 7, 5, -1 },
                { 4, 2, 0, -1, 1, -1 }, { -1, 7, -1, 0, 3, 2 },
                { -1, 5, 1, 3, 0, 6 }, { -1, -1, -1, 2, 6, 0 } };// 创建一个权值矩阵
        ;// 创建一个权值矩阵
        int[][] D = getShortestPathMatrix(W1);
        //输出最后的结果
        for (int i = 0; i < D.length; i++) {
            for (int j = 0; j < D[i].length; j++) {
                System.out.print(D[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

若是须要个人学习资料，我很是乐意分享；若是读者可以有所赐教，我甚感荣幸。QQ：810050504（小帅），邮箱是QQ邮箱