最小生成树的两种寻路算法及证实[上]

首先，什么是平面连通图?

平面连通图是一个二维网络,网络由节点和边组成,好比我随手画了一个:

也能够是这样:

它并非一个空间连通图由于他能够拓扑变换成这样:

但若是这种图就不行了:

这样的连通图只能出如今三维空间中,因此没法知足欧拉公式.

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其次，欧拉公式是沃特?

欧拉公式也叫欧拉定理,指在简单多面体上，棱数（边）、面数和点数具备必定的关系：点+面=边+2。并且规定,平面网络属于特殊的一种多面体,想不到吧（关于欧拉定理的详解，请转向个人另外一篇论文《浅谈欧拉定理》），这里要注意一下，数面数的时候要算上整个图外侧的那个无穷大的面，也就是环路的数量加上1。所以平面连通图恒知足欧拉定理。
   至于我为何要介绍欧拉公式呢，是为了作准备，后面的最小生成树须要用到它！

而后，生成树有啥特色？

在平面连通图中，咱们想要用一个如树枝通常层层分岔但无环的线路通过全部的节点，且这个线路必须被包含于连通图。换个说法就是，在这个连通图中，咱们但愿删除掉一些边，让剩下全部的边都没有造成环，且剩下的边必须相互连通，不能被隔绝，这就是生成树（spanning tree）。好比这样：

能够看出，不一样的删边方法能够获得不一样的生成树。
   根据欧拉公式，生成树中的面数为1，点数不变仍是n，于是获得边数等于n-1，对于连通图中的全部生成树都成立。
   仍是根据欧拉公式能够证实，此时在生成树中随便增添一条边（这条边固然要属于原连通图中），都必然将多出一个环，增长n条边就产生n个环。
   把这张连通图当作一张地图，每一个节点都是一个地点，每条边都是可走的路径，这时给每条路径赋予一个权重值，表明这条路径的长短，这在TCP/IP协议中叫作度量值或开销（cost），因此这里权值越大，路径开销反而越大。
   所以，不一样的生成树的总开销未必相同，其中总开销最小的就成为了本文探讨的最小生成树。
   还能够看出，在树上，任意两点之间走的路径是最短距离（放之于原来的连通图比较来讲）的可能性很小。因此最小生成树不是地图上寻路的最好方法。

以后，求最小生成树的两种重要算法

以上都是最基础的铺垫部分，写教程就这点麻烦，必定要从知识的根源开始讲起。那么废话再也不多说，直接上算法：kruskal（克鲁斯卡尔）算法和prim（普利木）算法。这两个算法是计算最小生成树最经常使用的算法没有之一，由于他们既简单又完美，何况他们有不少的类似之处。

Kruskal Algorithm

前期准备：