线性方程组（三）- 向量方程

小结

1. 向量的定义
2. 向量方程的定义和求解
3. $\boldsymbol{Span\{v\}}$Span{v}与 $\boldsymbol{Span\{u,v\}}$Span{u,v}的几何解释

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$\mathbb{R}^{2}$R2中的向量

仅含一列的矩阵称为&列向量，或简称向量。向量表示一组有序数。
包含两个元素的向量表示为： $\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \end{bmatrix}$w=[w1​w2​​]，其中 $w_1$w1​和 $w_2$w2​是任意实数。
所有两个元素的向量的集记为 $\mathbb{R}^{2}$R2， $\mathbb{R}$R表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素。
$\mathbb{R}^{2}$R2中两个向量相等当且仅当其对应元素相等。即 $\mathbb{R}^{2}$R2中的向量是实数的有序对。
给定实数 $c$c和 $\mathbb{R}^{2}$R2中两个向量 $\boldsymbol{u}$u和 $\boldsymbol{v}$v，它们的和 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$u+v是把 $\boldsymbol{u}$u和 $\boldsymbol{v}$v对应元素相加所得的向量。 $\boldsymbol{u}$u和 $c$c的标量乘法（或数乘）是把 $\boldsymbol{u}$u的每个元素乘以 $c$c，所得向量记为 $c\boldsymbol{u}$cu。 $c\boldsymbol{u}$cu中的数 $c$c称为标量（或数）。

给定 $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$u=[1−2​]和 $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}$u=[2−5​]，求 $4\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v}$4u−3v
解： $\quad4\boldsymbol{u} - 3\boldsymbol{v}$4u−3v
$\qquad= 4\boldsymbol{u} + (-3)\boldsymbol{v} \\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 * 1 \\ 4 * (-2) \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 * 2 \\ -3 * (-5) \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 + (-6) \\ -8 + 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}$=4u+(−3)v=[4∗14∗(−2)​]+[−3∗2−3∗(−5)​]=[4−8​]+[−615​]=[4+(−6)−8+15​]=[−27​]

$\mathbb{R}^{2}$R2的几何表示

考虑平面上的直角坐标系。因为平面上每个点由实数的有序对确定，所以可把几何点 $(a, b)$(a,b)与列向量 $\left[\begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix}\right]$[ab​]等同。因此我们可把 $\mathbb{R}^{2}$R2看作平面上所有点的集合。
向量 $\left[\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix}\right]$[3−1​]的几何表示是一条由原点 $(0, 0)$(0,0)指向点 $(3, -1)$(3,−1)的有向线段。

向量加法的平行四边形法则
若 $\mathbb{R}^{2}$R2中向量 $\boldsymbol{u}$u和向量 $\boldsymbol{v}$v用平面上的点表示，则 $\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}$u+v对应于以 $\boldsymbol{u}$u， $\boldsymbol{0}$0和 $\boldsymbol{v}$v为顶点的平行四边形的第4个顶点。

$\mathbb{R}^{n}$Rn中的向量

$\mathbb{R}^{3}$R3中向量是 $3 \times 1$3×1列矩阵，有3个元素。它们表示三维空间中的点，或起点为原点的箭头。

若 $n$n是正整数，则 $\mathbb{R}^{n}$Rn表示所有 $n$n个实数数列（或有序 $n$n元组）的集合，通常写成 $n \times 1$n×1列矩阵的形式， $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}$u=⎣⎢⎢⎢⎡​u1​u2​⋮un​​⎦⎥⎥⎥⎤​。
所有元素都是零的向量称为零向量，用 $\boldsymbol{0}$0表示。

$\mathbb{R}^{n}$Rn中向量相等以及向量加法与标量乘法类似于 $\mathbb{R}^{2}$R2中的定义。
$\mathbb{R}^{n}$Rn中向量的代数性质
对 $\mathbb{R}^{n}$Rn中一切向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$u,v,w以及标量 $c$c和 $d$d:
$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} +\boldsymbol{u} \qquad\qquad\qquad\qquad c(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = c\boldsymbol{u} + c\boldsymbol{v} \\ (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) + \boldsymbol{w} = \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) \qquad\ (c+d)\boldsymbol{u} = c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{u} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u} \qquad\qquad\qquad c(d\boldsymbol{u}) = cd\boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{-u}) = \boldsymbol{-u} + \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \qquad\quad\ 1\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}$u+v=v+uc(u+v)=cu+cv(u+v)+w=u+(v+w) (c+d)u=cu+duu+0=0+u=uc(du)=cduu+(−u)=−u+u=0 1u=u

线性组合

给定 $\mathbb{R}^{n}$Rn中向量 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​和标量 $c_1, c_2,\cdots,v_p$c1​,c2​,⋯,vp​，向量 $\boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$y=c1​v1​+⋯+cp​vp​称为向量 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​以 $c_1, c_2,\cdots,v_p$c1​,c2​,⋯,vp​为权的线性组合。形如 $\boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$y=c1​v1​+⋯+cp​vp​的方程称为向量方程。

设 $\boldsymbol{a_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}$a1​=⎣⎡​1−2−5​⎦⎤​， $\boldsymbol{a_2}=\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}$a2​=⎣⎡​256​⎦⎤​， $\boldsymbol{b}= \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \\ \end{bmatrix}$b=⎣⎡​74−3​⎦⎤​，确定 $\boldsymbol{b}$b能否写成 $\boldsymbol{a_1}$a1​和 $\boldsymbol{a_2}$a2​的线性组合，也就是说，确定是否存在权 $x_1$x1​和 $x_2$x2​使 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol{b}$x1​a1​+x2​a2​=b。
解： $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2}= x_1\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ -2x_1 + 5x_2 \\ -5x_1 + 6x_2 \\ \end{bmatrix}$x1​a1​+x2​a2​=x1​⎣⎡​1−2−5​⎦⎤​+x2​⎣⎡​256​⎦⎤​=⎣⎡​x1​+2x2​−2x1​+5x2​−5x1​+6x2​​⎦⎤​
向量相等当且仅当它们的对应元素相等。即 $x_1$x1​和 $x_2$x2​满足 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol{b}$x1​a1​+x2​a2​=b当且仅当 $x_1$x1​和 $x_2$x2​满足方程组 $\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 7 \\ -2x_1 + 5x_2 = 4 \\ -5x_1 + 6x_2 = -3 \\ \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+2x2​=7−2x1​+5x2​=4−5x1​+6x2​=−3​。
用行化简算法将方程组的增广矩阵化简，以此解方程组：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​1−2−5​256​74−3​⎦⎤​～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 9 & 18 \\ 0 & 16 & 32 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​100​2916​71832​⎦⎤​～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 16 & 32 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​100​2116​7232​⎦⎤​
～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​100​210​720​⎦⎤​～ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​100​010​320​⎦⎤​
由阶梯形矩阵最右列不是主元列，可知其有解。解为 $x_1=3,x_2=2$x1​=3,x2​=2。
因此 $\boldsymbol{b}$b是 $\boldsymbol{a_1}$a1​与 $\boldsymbol{a_2}$a2​的线性组合，权为 $x_1=3,x_2=2$x1​=3,x2​=2。

若 $\boldsymbol{A}$A是 $m \times n$m×n矩阵。 $\boldsymbol{A}$A的各列是 $\mathbb{R}^{m}$Rm中的向量，用 $\boldsymbol{a_1}, \cdots,\boldsymbol{a_n}$a1​,⋯,an​表示，则A= $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_n} \end{bmatrix}$[a1​,⋯,an​​]。

注意：求解过程中，增广矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​1−2−5​256​74−3​⎦⎤​的3列分别对应于 $\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b}$a1​,a2​,b。即增广矩阵可直接写为: $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b} \end{bmatrix}$[a1​,a2​,b​]。

向量方程 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol{b}$x1​a1​+x2​a2​+⋯+xn​an​=b和增广矩阵为 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}$[a1​​a2​​⋯​an​​b​]的线性方程组有相同的解。特别地， $\boldsymbol{b}$b可表示为 $\boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \cdots, \boldsymbol{a_n}$a1​,a2​,⋯,an​的线性组合当且仅当线性方程组有解。

$\boldsymbol{Span\{v\}}$Span{v}与 $\boldsymbol{Span\{u,v\}}$Span{u,v}的几何解释

若 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​是 $\mathbb{R}^{n}$Rn中的向量，则 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​的所有线性组合所成的集合用记号 $\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}$Span{v1​,v2​,⋯,vp​}表示，称为由 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​所生成（或张成）的 $\mathbb{R}^{n}$Rn的子集。也就是说， $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​是所有形如 $c_1\boldsymbol{v_1} + c_2\boldsymbol{v_2} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$c1​v1​+c2​v2​+⋯+cp​vp​的向量的集合，其中 $c_1,c_2,\cdots,c_p$c1​,c2​,⋯,cp​为标量。

要判断向量 $\boldsymbol{b}$b是否属于 $\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}$Span{v1​,v2​,⋯,vp​}，就是判断向量方程 $x_1\boldsymbol{v_1}+x_2\boldsymbol{v_2}+\cdots+x_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{b}$x1​v1​+x2​v2​+⋯+xp​vp​=b是否有解，或等价地，判断增广矩阵为 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \cdots & \boldsymbol{v_p} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}$[v1​​v2​​ p } \boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}} Span{v1​,v2​,⋯,vp​}，就是判断向量方程 $x_1\boldsymbol{v_1}+x_2\boldsymbol{v_2}+\cdots+x_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{b}$x1​v1​+x2​v2​+⋯+xp​vp​=b是否有解，或等价地，判断增广矩阵为 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \cdots & \boldsymbol{v_p} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}$[v1​​v2​​⋯​vp​