机器学习中L1,L2正则化项

搞过机器学习的同窗都知道，L1正则就是绝对值的方式，而L2正则是平方和的形式。L1能产生稀疏的特征，这对大规模的机器学习灰常灰常重要。可是L1的求解过程，实在是太过蛋疼。因此即便L1能产生稀疏特征，不到万不得已，咱们也仍是宁肯用L2正则，由于L2正则计算起来方便得多。。。

正则化项不该该以正则化的表面意思去理解，应该翻译为规则化才对！

通常回归分析中回归ww表示特征的系数，从上式能够看到正则化项是对系数作了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明以下：

• L1正则化是指权值向量ww中各个元素的绝对值之和，一般表示为||w||1||w||1
• L2正则化是指权值向量ww中各个元素的平方和而后再求平方根（能够看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），一般表示为||w||2||w||2

通常都会在正则化项以前添加一个系数，Python中用αα表示，一些文章也用λλ表示。这个系数须要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的做用，这些表述能够在不少文章中找到。

• L1正则化能够产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，能够用于特征选择
• L2正则化能够防止模型过拟合（overfitting）；必定程度上，L1也能够防止过拟合

机器学习中正则化项L1和L2的直观理解

正则化（Regularization）

机器学习中几乎均可以看到损失函数后面会添加一个额外项，经常使用的额外项通常有两种，通常英文称做ℓ1ℓ1-norm和ℓ2ℓ2-norm，中文称做L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。

L1正则化和L2正则化能够看作是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数作一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫作Lasso回归，使用L2正则化的模型叫作Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||1α||w||1即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||22α||w||22即为L2正则化项。

通常回归分析中回归ww表示特征的系数，从上式能够看到正则化项是对系数作了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明以下：

• L1正则化是指权值向量ww中各个元素的绝对值之和，一般表示为||w||1||w||1
• L2正则化是指权值向量ww中各个元素的平方和而后再求平方根（能够看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），一般表示为||w||2||w||2

通常都会在正则化项以前添加一个系数，Python中用αα表示，一些文章也用λλ表示。这个系数须要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的做用，这些表述能够在不少文章中找到。

• L1正则化能够产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，能够用于特征选择
• L2正则化能够防止模型过拟合（overfitting）；必定程度上，L1也能够防止过拟合

稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而能够用于特征选择。为何要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是不少元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即获得的线性回归模型的大部分系数都是0. 一般机器学习中特征数量不少，例如文本处理时，若是将一个词组（term）做为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，可是若是代入这些特征获得的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（由于它们前面的系数是0或者是很小的值，即便去掉对模型也没有什么影响），此时咱们就能够只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部份内容将解释为何L1正则化能够产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为何L2正则化能够防止过拟合。

L1正则化和特征选择

假设有以下带L1正则化的损失函数： 

 

J=J0+α∑w|w|(1)(1)J=J0+α∑w|w|

其中 J0J0是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，αα是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，JJ是带有绝对值符号的函数，所以JJ是不彻底可微的。机器学习的任务就是要经过一些方法（好比梯度降低）求出损失函数的最小值。当咱们在原始损失函数J0J0后添加L1正则化项时，至关于对J0J0作了一个约束。令L=α∑w|w|L=α∑w|w|，则J=J0+LJ=J0+L，此时咱们的任务变成在LL约束下求出J0J0取最小值的解。考虑二维的状况，即只有两个权值w1w1和w2w2，此时L=|w1|+|w2|L=|w1|+|w2|对于梯度降低法，求解J0J0的过程能够画出等值线，同时L1正则化的函数LL也能够在w1w2w1w2的二维平面上画出来。以下图：

 

 
图1 L1正则化

图中等值线是J0J0的等值线，黑色方形是LL函数的图形。在图中，当J0J0等值线与LL图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0J0与LL在LL的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)(w1,w2)=(0,w)。能够直观想象，由于LL函数有不少『突出的角』（二维状况下四个，多维状况下更多），J0J0与这些角接触的机率会远大于与LL其它部位接触的机率，而在这些角上，会有不少权值等于0，这就是为何L1正则化能够产生稀疏模型，进而能够用于特征选择。

而正则化前面的系数αα，能够控制LL图形的大小。αα越小，LL的图形越大（上图中的黑色方框）；αα越大，LL的图形就越小，能够小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优势的值(w1,w2)=(0,w)(w1,w2)=(0,w)中的ww能够取到很小的值。

相似，假设有以下带L2正则化的损失函数： 

 

J=J0+α∑ww2(2)(2)J=J0+α∑ww2

一样能够画出他们在二维平面上的图形，以下：

 

 
图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。所以J0J0与LL相交时使得w1w1或w2w2等于零的机率小了许多，这就是为何L2正则化不具备稀疏性的缘由。

L2正则化和过拟合

拟合过程当中一般都倾向于让权值尽量小，最后构造一个全部参数都比较小的模型。由于通常认为参数值小的模型比较简单，能适应不一样的数据集，也在必定程度上避免了过拟合现象。能够设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果形成很大的影响；但若是参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果形成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为何L2正则化能够得到值很小的参数？

以线性回归中的梯度降低法为例。假设要求的参数为θθ，hθ(x)hθ(x)是咱们的假设函数，那么线性回归的代价函数以下： 

 

J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))(3)(3)J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))

那么在梯度降低法中，最终用于迭代计算参数θθ的迭代式为： 

 

θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(4)(4)θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)

其中αα是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，若是在原始代价函数以后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子： 

 

θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(5)(5)θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)

其中λλ就是正则化参数。从上式能够看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θjθj都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θjθj不断减少，所以总得来看，θθ是不断减少的。

 

最开始也提到L1正则化必定程度上也能够防止过拟合。以前作了解释，当L1的正则化系数很小时，获得的最优解会很小，能够达到和L2正则化相似的效果。

正则化参数的选择

L1正则化参数

一般越大的λλ可让代价函数在参数为0时取到最小值。下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。

假设有以下带L1正则化项的代价函数： 

 

F(x)=f(x)+λ||x||1F(x)=f(x)+λ||x||1

其中xx是要估计的参数，至关于上文中提到的ww以及θθ. 注意到L1正则化在某些位置是不可导的，当λλ足够大时可使得F(x)F(x)在x=0x=0时取到最小值。以下图：

 

 
图3 L1正则化参数的选择

分别取λ=0.5λ=0.5和λ=2λ=2，能够看到越大的λλ越容易使F(x)F(x)在x=0x=0时取到最小值。

L2正则化参数

从公式5能够看到，λλ越大，θjθj衰减得越快。另外一个理解能够参考图2，λλ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。

Reference

过拟合的解释： 
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss2.html

正则化的解释： 
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss1.html

正则化的解释： 
http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657

正则化的数学解释（一些图来源于这里）： 
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

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