2018-2019-1 20189206 《深刻理解计算机系统》第二章学习笔记

2018-2019-1 20189206 《深刻理解计算机系统》第五周学习总结

教材学习内容总结

本章主要研究三种重要的数字表示，分别是无符号编码、补码编码和浮点数编码。其中，无符号编码表示大于或等于零的数字，补码编码用来表示有符号整数，浮点数编码是科学计数法的以2为基数的版本。

第二章 信息的表示和处理

信息存储的方式

1. 最小可寻址的内存单位————8位的块，也称为字节
2. 机器级程序将内存视为一个很是大的数组，称为虚拟内存
3. 内存的每一个字节都由惟一的数字来表示，称为地址

十六进制表示方式

1. 一个字节的
   对应的二进制表示为 \(00000000_2 至 11111111_2\)
   对应的十进制表示为 \(0_{10} 至 255_{10}\)
   对应的十六进制表示为 \(00_{16} 至 FF_{16}\)（以0x或者0X开头的数字为十六进制表示）

2. 特殊的转换方法

   当值x是2的非负整数的n次幂时即 \[x=2^n\] 能够将x写成1后面加n个0的形式。
   当n表示为 n=i+4j 时（0<=i<=3），x对应的十六进制数字能够写成一、二、四、8后面跟J个0
   例如： \[ 512 = 2^9 \] 知 n=1+2*4 故2048对应的16进制是 0x200

字数据大小

1. 每一个计算机都有一个字长，用来指明指针数据的标称大小。 字长决定的最重要的系统参数就是虚拟地址空间的最大大小。对于一个字长为w的机器，虚拟地址的范围为\[ 0 至 2^w -1 \]程序最多访问2^w个字节。
2. 多字节对象被存储为连续的字节序列，对象的地址为使用字节中最小地址
   • 大端法：最高有效字节存储在前面（即先存储最高有效字节）
   • 小端法：最低有效字节存储在前面（先存储最低有效字节）
   • 假设0x01234567
     • 大端法存储为 01 23 45 67 （地址从左至右增大）
     • 小端法存储为 67 45 23 01 （地址从左至右增大）
3. linux32 Windows和linux64 均为小端机器，能够记为阅读顺序和存储顺序相反。

下面show_bytes函数的做用是打印出每一个以十六进制表示的字节，其中输入是一个字节序列的地址。

void show_bytes(byte_pointer start,size_t len)
{
    size_t i;
    for(i=0;i<len;i++)
    {
        printf("%.2x",start[i]);
    }
    printf("\n");
}

void show_int(int x)
{
    show_bytes((byte_pointer)&x,sizeof(int));
}

实现的功能就是输出int型每一个字节对应的十六进制表示。

布尔代数

布尔运算     逻辑运算    命题逻辑
       ~          NOT        ┐
       &          AND        ∧
       |          OR         ∨
       ∧         异或        ⊕

• 位级运算的经常使用用法是实现掩码运算，掩码表示从一个数中选出的位的集和。
  x & 0xFF 获得的结果就是x最低有效字节组成的值，其他字节被置0，以后表达式~0 获得的结果就是全为1 的掩码。

【注】注意区分C语言中的逻辑运算与位级运算

C语言的逻辑运算是|| &&和！，分别对应命题逻辑中的OR、AND和NOT运算。逻辑运算认为全部的非零值都为真，参数零表示假，运算结果只由0和1。

逻辑运算中若是第一个参数求值就能肯定表达式的值，逻辑运算不会对第二个参数求值

位移运算

• 位移运算分为左移和右移
  • 左移 X向左移，丢弃最高的k位，并在右端补0
  • 右移 X向右移，丢弃最低的k位
    • 算数右移 在左端补k个最高有效位的值
    • 逻辑右移 在左端补0

几乎全部的编译器/机器组合都会对有符号数使用算数右移，而对于无符号数，右移必须是逻辑右移。

整数表示

无符号数只能表示非负数，而补码编码可以表示负数、0和正数。

• 无符号数的编码

  • 无符号数的定义
    对于向量 \[ \vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0] \] 有

    \[B2U_w (\vec{x}) = \sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i\]

  • 无符号数所能表示的值的范围
    [0 0 …… 0] 到 [1 1 …… 1]即
    \[UMax_w = \sum_{i=0}^{w-1}2^i = 2^w-1\]

  • 无符号编码的惟一性
    函数B2U是一个双射，将每个长度为w的位向量，映射为0~2^w-1之间的惟一一个值，这种映射是一一对应的关系，便可以反向操做。

• 补码编码
  最多见的有符号数的计算机表示方式就是补码形式，这种形式下，将字的最高有效位解释为负权。

  • 补码编码的定义

  对于向量 \[ \vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0] \] 有

  \[B2T_w (\vec{x}) = -x_{w-1}2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i\]

  最高有效位称为符号位，符号位为1时，表示值为负数；符号值为0时，值为非负。

  • 补码所能表示的范围

  它能表示的最小值是[1 0 …… 0] 其整数值为 \[TMin_w = -2^{w-1} \]
  最大值为[0 1 …… 1] 其整数值为\[TMax_w = \sum_{i=0}^{w-1}2^i = 2^w-1\]

  • 补码有着与无符号数相同的双射函数
  • 最大无符号数恰好比补码的最大值的两倍大一\[UMax_w=2TMax_w + 1 \]

有符号数和无符号数之间的转换

• 强制类型转换的结果保持位不变，只是改变了解释这些位的方式。处理一样字长的有符号数和无符号数之间的转换通常规则是：数值可能会改变，可是位模式不变

• 补码转换为无符号数

对知足\[TMin_w\leq x \leq TMax_w \]的x有：
\[T2U_w(x) =\begin{cases} x+2^w & x <0 \\\ x & x \geq 0 \end{cases}\]

从以上表达式能够看出，将一个有符号数转为它相应的无符号数时，负数就被转换成了大的整数，非负数则会保持不变。

• 无符号数转换为补码

对知足\[0 \leq u \leq UMax_w \]的x有：
\[U2T_w(u) =\begin{cases} u & x \leq TMax_w \\\ u-2^w & u>TMax_w \end{cases}\]

从以上表达式能够看出，讲一个无符号数转换为补码时，U2T把大于2^w-1的数转化成了负数。

从上述两个公式能够看出，对于在范围\[ 0 \leq x \leq TMax_w \]的范围内的数字有着相同的补码和无符号数表示。对于这个范围之外的数须要加上或者减去2^w

• C语言中，当执行一个运算时，它的一个运算数是有符号的，另外一个运算数是无符号的，那么C语言会将有符号数强制类型转换为无符号数，并假设这两个数都是非负的。

扩展一个数字位的表示

1. 将无符号数转换为一个更大的数据类型——零扩展
2. 将补码转换为一个更大的数据类型——符号扩展（添加最高有效位的值）

截断数字

1. 截断无符号数

令\[\vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0]\] 现截断该位向量k位的结果是\[x' = x mod 2^k\]

1. 截断补码数值
   令\[\vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0]\] 现截断该位向量k位的结果是\[x' = U2T_k（x mod 2^k）\]即把最高位的权重从正变为负。

整数运算

• 无符号加法
  定义无符号数加法，该操做是把整数和x+y截断为w位获得的结果，再把这个结果看做是一个无符号数。能够被看做是一种形式的模运算
  对于x、y知足\[ 0 \leq x,y<2^w \]有：
  \[x + y =\begin{cases} x+y & x+y \leq 2^w \\\ x+y-2^w & 2^w \leq x+y <2^{w+1} \end{cases}\]

当x+y的结果s小于x或者小于y的时候，能够断定无符号数的加法出现了溢出。

• 无符号数求反

模数加法造成了一个阿贝尔群，对于每一个x值一定有有一个加法逆元。
对于知足\[ 0 \leq x <2^w \]的任意x值，其无符号加法逆元为
\[- x =\begin{cases} x & x=0 \\\ 2^w-x & x>0 \end{cases}\]

• 补码加法
  对于知足\[-2^{w-1} \leq x,y \leq 2^{w-1}-1 \]的整数x和y 有
  \[x + y =\begin{cases} x+y-2^w & 2^{w-1} \leq x+y & 正溢出 \\\ x+y & -2^{w-1} \leq x+y <2^{w-1} &正常\\\ x+y+2^w & x+y<-2^{w-1} & 负溢出 \end{cases}\]

• 补码的非
  对于知足\[ TMin\_w \leq x <TMin\_w \]的任意x值，其补码的非为
  \[- x =\begin{cases} TMin\_w & x=TMin\_w \\\ -x & x>TMin\_w \end{cases}\]

• 无符号和补码乘法
  将一个数截断w就等价于计算该值的模2^w
  对于无符号和补码乘法来讲，乘法运算的位级表示都是同样的。

• 乘以常数

因为在大多数机器上，整数乘法的指令须要10个或者更多的时钟周期，其余整数运算只须要1个时钟周期。编译器使用了优化，试着用位移和加法的运算组合代替乘以常数因子的乘法。
原理： 设x的位模式为 \([x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0]\)表示无符号整数，那么对于任何$k \leq 0 $都认为 \([x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0,0,0,\cdots,0]\) 给出了 \(x*2^k\) 的w+k位的无符号表示，右边增长了k个0。
能够看出，左移一个数值至关于执行一个与2的幂相乘的无符号乘法

例如：一个程序包含表达式 x*14 利用 $14 =2^3+2^2+2^1 $ 能够将该乘法重写(x<<3)+(x<<2)+(x<<1),将一个乘法替换为位移和两个加法。
或者利用 $14 =2^4-2^1 $ 重写成 (x<<4)-(x<<1)

• 除以2的幂
  • 除以2的幂的无符号除法
    假设有无符号数值x和k，且 $0 \leq k <w $ 则表达式 x>>k 产生结果\(\lfloor x/2^k \rfloor\)
  • 除以2的幂的补码除法
    假设有补码数值x和无符号数值k，且 $0 \leq k <w $ 则表达式执行算术位移 x>>k 产生结果\(\lfloor x/2^k \rfloor\)

浮点数

• 二进制小数
  表示方法：$ b_m b_{m-1} \cdots b_1 b_0.b_{-1} b_{-2} \cdots b_{-n} $
  这个表达描述的定义以下：
  \[b = \sum_{i=-n}^{m}2^i*d_i \]

• IEEE浮点表示
  • 浮点标准用\[ V= (-1)^s * M * 2^E \] 来表示一个数
    • 符号：s决定了这个数是负数（s=1）仍是正数（s=0）
    • 尾数：M是一个二进制小数，范围是1~2-ε 或者 0~1-ε
    • 阶码：E的做用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂
  • 将浮点数的位表示划分为3个字段，分别对这些值编码
    • 一个单独的符号位s
    • k位的阶码字段\(exp=e_{k-1} \cdots e_1 e_0\)编码阶码E
    • n位的小数字段$frac=f_{n-1} \cdots f_1 f_0 $编码尾数M
  • 规格化的值
    • exp的位模式不会全为0或全为1 阶码字段被表示为以偏置形式表示的有符号整数。E= e-bias e为无符号数 \(bias=2^{k-1}-bais\)
    • 小数字段frac，尾数定义为M=1+f
  • 非规格化的值
    • 阶码E全为0时是非规格化的形式，此时 E=1-Bias 尾数值M=f
  • 特殊值
    • 阶码全为1时，获得的值表示无穷

【注】浮点运算只由有限的范围和精度，而且不遵照结合律。

总结

本章重点在于用数学公式准肯定义出计算机中使用的几种数据类型，内容不少，须要好好总结和复习。经过直接操做数字级的位表示，获得了几种算数运算的方式。针对不一样的机器，变量类型存储的大小也不一样、存储方式不一样，为了能使编写的程序在所有范围内正确工做，能够实现跨越不一样的机器、操做系统和编译器的组合，对于这种数学原理的学习是十分重要的。 第二章主要从信息存储的方式、整数表的方法（无符号编码、补码编码）以及相关操做、整数运算（无符号运算、补码运算）、浮点数（两种表示方式）等方面介绍了数据的存储表示方式，进行计算的结果等内容。