字符串匹配 - KMP算法

首先大体的学习一下有限自动机字符匹配算法，而后在讨论KMP算法。

有限自动机

一个有限自动机M是一个五元组(Q,q₀,A,Σ,δ),其中：

• Q是状态的集合，
• q₀∈Q是初始状态，
• A是Q的字集，是一个接受状态集合，
• Σ是一个有限的输入字母表，
• δ是一个从Q×Σ到Q的函数，叫作转移函数。

下面定义几个相关函数：

• φ(w)是M在扫描字符串w后终止时的状态。函数φ有下列递归关系定义：φ(ε) = q₀，φ(wa) = δ(φ(w),a)，
• σ(x)是x的后缀中，关于P的最长前缀的长度。

字符串匹配自动机

来回顾一下朴素算法。给定下面两个字符串，模式串P，和匹配串T。

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	a	b	a	b	a	c	a
T	a	b	a	b	a	b	a	c	a	b	a

当第一次匹配时，i=0，可是扫描到i=5的时候，字符串不在匹配。此时另i=1，从新匹配。这就是朴素算法须要改进的地方。当i=5的时候，观察表格发现P[0...3]=T[2...5]，此时若是可以匹配T[5+1]和P[3+1]就不须要从i=2开始扫描了，效率就大大的提高了，这样匹配的时间复杂度就只有O(n)了。这里P[0...3]叫作P的前缀，T[2...5]叫作T₅的后缀。此时σ(T₅) = 3。这样在自动机的操做中，若是每次状态转移都可以保证：

　　　　　　　　φ(T_i)=σ(T_i)

那么就能够保证最终的正确匹配。下面来作简单的推理：

根据φ(x)的定义，有φ(T_ia) = δ(φ(T_i),a)，其中a为任意字母；

由φ(T_i)=σ(T_i)，能够获得φ(T_ia)=σ(T_ia) = q，即φ(T_ia)=σ(P_qa)；

综上，δ(φ(T_i),a)=σ(P_qa),，能够获得一个状态转移函数δ(q,a)=σ(P_qa)。这样就能够作出一个正确的状态转移图，而后就能够匹配字符串了。

用文字来描述一下：在自动机中，状态q就是T_i的后缀在P的最长前缀的长度。这样每次可以知足这个条件，就可以保证算法的正确进行。这里，在《算法导论》中有详细的数学证实。

KMP算法

KMP算法不创建一个有限自动机，可是必需要构建一个前缀函数，这里就叫作前缀数组吧。模式P和本身先匹配，获得前缀数组。前缀数组其实保存的就是自动机中的σ(x)的值。这样预处理的时间复杂度和自动机比就减小了不少。

预处理

给定模式P：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P	a	b	a	b	a	b	a	b	c	a
next	0	0	1	2	3	4	5	6	0	1

这里Pi[next[i]]表示的是Pi的关于P的最长后缀，P[i]表示P关于Pi的前缀。

当i=0时：

P0和P比较，P0[0] != P[0]，因此next[0]=0；

当i=1时：

P1和P比较，P1[0] != P[1]，因此next[1]=0；

当i=2时：

P2和P比较，P2[0] = P[2]，因此next[2]=1；

当i=3时：

P3和P比较，P3[1] = P[3]，因此next[3] = 2；

如此这般，就能够求得next数组了。通常算法描述数组都是从1开始，可是写代码的时候，数组是从下标0开始的，因此上面的next数组的每个值都应该减一。next[i]=-1表示没有前缀匹配。这样在写代码的时候，应该是这样的：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P	a	b	a	b	a	b	a	b	c	a
next	-1	-1	0	1	2	3	4	5	-1	0

当i=0时，初始化next[0] = -1；

当i=1时，(P1[next[0]+1] = a) != (P[1] = b)，next[1] = -1；

当i=2时，(P2[next[1]+1] = a) != (P[2] = a)，next[2] = 0；

当i=3时，(P3[next[2]+1] = b) !=(P[3] = b)，next[3] = 1；

...

这样就不难发现next数组的做用了，记录了当前的σ(Pi)。Pi[next[i]+1] = P[i]，就表示Pi最长前缀加一个字母和P的后缀加一个字母是否匹配。此时有两种状况：

• Pi[next[i]+1] = P[i]，这个时候σ(Pi+1) = σ(Pi) + 1，继续
• Pi[next[i]+1] != P[i]，这个时候没有直接从Pi[0]是否是等于P[i]扫描，而是从Pi[next[next[i]]+1]开始扫描。由于目前必定能够保证Pi[next[next[i]]是P的一个前缀。

下面是C代码的实现的求next数组：

void get_next(char *P, int next[],int len)
{
	printf("len=%d\n",len);
	next[0] = -1;
	int q = -1;
	int i;
	for(i = 1; i < len; i++) {
		while(q > 0 && P[q+1] != P[i]) { /* 判断P[q+1]适合等于P[i] */
			q = next[q]; /* 若是不相等， 一直找到知足条件的最长后缀 */
		}
		if(P[q+1] == P[i]) q++; /* 若是相等，那么很好，继续... */
		next[i] = q;
		
	}
}

 匹配

当求出next数组后，就能够进行字符串匹配了。匹配的方法和求next的方法相识。下面是完整的代码：

/*************************************************************************
    > File Name: KMP.c
    > Author: mr_zys
    > Mail: 247629929@163.com 
    > Created Time: 2014年10月09日 星期四 14时48分30秒
 ************************************************************************/

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 100
int next[maxn];
char P[maxn],T[maxn];

void get_next(char *P, int next[],int len)
{
	printf("len=%d\n",len);
	next[0] = -1;
	int q = -1;
	int i;
	for(i = 1; i < len; i++) {
		while(q > 0 && P[q+1] != P[i]) { /* 判断P[q+1]适合等于P[i] */
			q = next[q]; /* 若是不相等， 一直找到知足条件的最长后缀 */
		}
		if(P[q+1] == P[i]) q++; /* 若是相等，那么很好，继续... */
		next[i] = q;
		
	}
}
void KMP(char *P, char *T)
{
	int len_P = strlen(P);
	int len_T = strlen(T);
	int j = -1;
	int i;
	for(i = 0; i < len_T; i++) {
		while(j > -1 && T[i] != P[j+1]) {
			j = next[j];
		}
		if(P[j+1] == T[i]) {
			j++;
			//printf("%d %d\n",j,i);
		}
		if(j == len_P-1){
			printf("在%d处开始匹配\n",i-len_P+1);
			j = next[j];
		}
	}
}
int main()
{
	printf("input the string P:\n");
	scanf("%s",P);
	printf("input the string T:\n");
	scanf("%s",T);
	printf("%s\n",P);
	get_next(P,next,strlen(P));
	int i;
	for(i = 0; i < strlen(P); i++) {
		printf("(%d)",next[i]);
	}
	printf("\n");
	KMP(P,T);
	return 0;
}

 可能，中间有些表述不清，求指正哈！

-end-