最大堆、最小堆操做-删除、

最大堆/最小堆

　堆的定义是：n个元素的序列{k₁,k₂,…,k_n}，当且仅当知足以下关系时被成为堆

　　 　(1)K_i <= k_2i 且 k_i <= k_2i-1        

　　或 (2) K_i >= k_2i 且 k_i >= k_2i-1 

　　　　　　　　　　(i = 1,2,…[n/2])

当知足(1)时，为最小堆，当知足(2)时，为最大堆。

 

　　若将此序列对应的一维数组堪称是一个彻底二叉树，则2i和2i+1个节点分别是节点i的左右子节点。

以下为一个最大堆：

 

下面以最小堆为例说明堆的输出：

 

　　图1为一个最小堆，当最小节点根节点13输出后，将最后一个节点97做为根节点，移到顶端，如图2. 而后要对堆进行调整。比较此彻底树的根节点与其两个子节点大小，由于27 < 38 < 97，因此27是三个节点里最小的，将节点27与根节点97交换。此时以97替代27而产生的右子树为一个新的堆，再以97为根节点，对此最小堆进行调整，同理，知道要将97与49交换，获得图3的彻底树。此时以97代替49为根节点的右子树为一个新堆，再对此堆作一样的操做，由于此彻底树已是最小堆，因此能够中止操做，堆的调整完毕。此时再将根节点，对的最小值输出，并进行一样的调整，能够获得如图4的新堆。这个过程被称为“筛选”。

 

一样以最小堆说明堆的初始化：

　　从一个无序序列初始化为一个堆的过程就是一个反复“筛选”的过程。由彻底二叉树的性质能够知，一个有n个节点的彻底二叉树的最后一个非叶节点是节点[n/2]，堆的初始化过程就从这个[n/2]节点开始。上图为以下无序数组的初始化：

　　　　{49,38,65,97,76,13,27,50}

　　首先，未处理的数组对应的堆为图1模样。从第四个节点开始（[8/2]=4），由于50 < 97，故要交换两节点，交换后还要继续对其新的左子树进行相似输出后那样的筛选。易见其左子树只有节点97，已经为最佳状况，故能够继续堆的初始化，如图2。再考虑第三个节点，由于13 < 27 < 65，即节点13为当前的最小节点，故与节点65交换，并对新的左子树进行筛选，其也为最佳状况，故可继续堆的初始化，结果如图3。而后考虑第二个节点，由于38 < 50 < 76，故已经为最优状况，不用调整。最后再考虑第一个节点，根节点。由于 13 < 38 < 49，故须要将根节点49与其右孩子节点13交换，交换后还要继续对其新的右子树进行相似输出后那样的筛选，可见右子树还须要调整，由于 27 < 49 < 65,故将节点49与节点27交换。此时已经处理完了根节点，初始化结束。最终结果如图5.