算法打基础——HashⅡ: 全域哈希与完美哈希

这一节涉及数学超级多，各类数论知识，各类不明觉厉！ 看了几遍，才勉强看懂一些，因此这

篇稍微简单的介绍着两种hash table, 省得瞎说说错了。

这一讲的主要知识点是：1. 全域哈希及构造    2. 完美哈希 

 

1. 全域哈希及构造

介绍全域哈希以前，要先讨论一下普通哈希的一个缺点。 举个charles举得那个例子：若是你

和一个竞争对手同时为一家公司作compiler的symbol table, 公司要求大家代码共享

(o(╯□╰)o)，大家作好后公司评判的标准就是 你俩互相提供一些测试样例，谁的效率高就买谁的。

而后，普通哈希的缺点就出来了：对任意的hash函数h,总存在一组keys，使得

, 对某个槽i。即我总能够找到一组键值，让他们都映射到同一个槽里面，这样效率

就跟离链表差很少了

解决的思想就是：独立于键值，随机的选择hash 函数。这就跟快排中为避免最差状况时随机化

版本差很少。可是选取hash function的全局域是不能乱定的，不然也打不到理想的性能。

 

下面就给出全域哈希的定义：

 

设U是key的全局域， 设\(\mathcal{H}\) 是哈希函数的有限集合，每个都是将U映射到

{0,1,..,m-1},即table的槽内。 若是对全部不等的\(x,y\in U\),有

换句话说，就是对于任意的不相等key的x和y, 从哈希函数集中选择一个哈希函数，这两个key

发生冲突的几率是1/m

 

更形象的，当我随机选一个哈希函数时，就像在上图区域乱扔一个飞镖，落在下面红色区域中

就会发生冲突，这个几率是1/m

 

 

下面给一个定理，说明为何全域函数就是好的：

 

设h是从哈希函数全域集\(\mathcal{H}\)中随机选出的函数h. h被用做把任意n个键映射到表T的m个

槽中，对给定键值x,咱们有：

定理：E[#collision with x]<n/m

Proof: 设\(C_x\)是表示与key x冲突的键值数量的随机变量，设\(c_{xy}\)是指示变量，即

则，\(E[c_{xy}]=1/m\) 且\(C_x=\sum_{y\in T-\{x\}}c_{xy}\)，则

 证毕！

这个定理想要说明的是，这种全域哈希的随机化选择能够达到哈希表理想的效果。注意这里

n/m是之前定义过的load factor

 

如今给出一种构造全域哈希的方法：

首先选择一个足够大的质数p,使得全部的键值都在0-p-1之间。且设\(Z_p\)表示{0,1,...,p-1},设

\(Z_p^*\)表示{1,2,..,p-1}. 由于槽m的数量少于key的数量，全部m<p.

而后咱们就能够设计哈希函数了，设任意的\(a\in Z_P^*,b\in Z_p\),而后

\(h_a,b(k)=((ak+b)mod p)mod m\)

全部这样的哈希函数族为:

\(\mathcal{H}_{p.m}=\{h_{a,b}:a\in Z_p^*, b\in Z_p\}\)

例如：选定p=17，m=6,\(h_{3,4}(8)=5\). 每一个哈希函数都是将\(Z_p\)映射到\(Z_m\). 咱们还

能够看到这个哈希函数族共有p(p-1)个哈希函数

针对这种构造方法构造出的是全域哈希函数的证实就略过了，涉及数学知识确实比较多，讲很差。

 

 

 2. 完美哈希 

当键值是static(即固定不变)的时候，咱们能够涉及方案使得最差状况下的查询性能也很出色，这就是

完美哈希。实际上，不少地方都会用到静态关键字集合。好比一种语言的保留字集合，一张CD-ROM

里的文件名集合。 而完美哈希能够在最坏状况下以O(1)复杂度查找，性能很是出色的。

完美哈希的思想就是采用两级的框架，每一级上都用全域哈希

完美哈希的结构如上图。具体来讲，第一级和带链表的哈希很是的类似，只是第一级发生冲突后后面接

的不是链表，而是一个新的哈希表。后面那个哈希结构，咱们能够看到前端存储了一些哈希表的基本

性质：m 哈希表槽数；a,b 全域哈希函数要肯定的两个值(通常是随机选而后肯定下来的)，后面跟着

哈希表。

 

为了保证不冲突，每一个二级哈希表的数量是第一级映射到这个槽中元素个数的平方，这样能够保证整个

哈希表很是的稀疏。下面给出一个定理，能更清楚的看到设置m=n^2的做用

 

定理：设\(\mathcal{H}\)是一类全域哈希函数，哈希表的槽数m=n^2. 那么，若是咱们用一个随机

函数\(h\in\mathcal{H}\)把n个keys映射到表中。冲突次数的指望最可能是1/2.

Proof:根据全域哈希的定义，对任意选出的哈希函数h，表中2个给定keys冲突的几率是1/m,即1/n^2

且总共有\(C_n^2\)可能的键值对，那么冲突次数的指望就是

\(C_n^2\cdot 1/n^2=n(n-1)/2\cdot 1\n^2 < 1/2\)   证毕！

为了冲突的理解从指望转换到几率，引入下面这个推论

推论： 完美哈希没有冲突的几率至少是1/2

Proof: 这里主要要用到一个不等式Markov's inequality-对任意非负随机变量X，咱们有

Pr{X≥t}≤E[x]/t

利用这个不等式，让t=1,便可获得冲突次数大于1的几率最多为1/2

 

由于第二层每一个表槽的个数是这个表中元素n^2，可能会感受到这样存储空间会很大，实际上，能够证

明\(E[\sum_{i=0}^{m-1}\Theta(n_i^2)]=\Theta(n)\), 由于证起来蛮复杂，因此我也略过了%>_<%

 

最后，向各位大牛们提个问题，看到了请必定要教我！ 怎么在博客园里面更美观的插入大量数学公式

(最好是用latex语法)，支持分多行对齐等结构，如今不会，证实公式都没办法写，写出来也难看。跪谢！