动态规划引入—矩阵乘法

                    

 动态规划算法适用于解最优化问题。一般可按如下4个步骤进行:算法

  1.找出最优解的性质,并刻画其结构特征数组

  2.递归地定义最优质优化

  3.以自底向上的方式计算出最优值spa

  4.根据计算最优值时获得的信息,构造最优解.net

 

举例:矩阵乘法问题code

 以两个矩阵相乘为例,A1*A2,A1和A2为两个矩阵,假设A1的行列数是p*q,A2的行列数是q*r。注意这里因为是A1乘以A2,因此A1的列数要等于A2的行数,不然没法作矩阵乘法,知足上述条件的矩阵,咱们称之为“相容”的。那么对于A1*A2而言,咱们须要分别执行p*r次对应A1的行元素乘以A2的列元素,根据线性代数知识,不可贵出咱们一共须要执行p*q*r次乘法。blog

 

        对于两个矩阵相乘,一旦矩阵的大小肯定下来了,那么所需执行的乘法次数就肯定下来了。那么对于两个以上的矩阵呢?是否是也是这样呢。实际上,对于多个矩阵相乘,乘法执行的次数与“划分”有关。例如:递归

 

        以矩阵链<A1,A2,A3>为例,假设三个矩阵的规模分别为10X100,100X5和5X50。class

 

        ①以((A1*A2)*A3)方式划分,乘法执行次数为:10*100*5+10*5*50=5000+2500=7500次循环

 

        ②以(A1*(A2*A3))方式划分,乘法执行次数为:100*5*50+10*100*50=25000+50000=75000次

 

        咱们能够发现,对于一样的矩阵链<A1,A2,A3>相乘而言,不一样的划分,乘法次数竟然相差10倍。

2、如何得到最佳的矩阵链乘法划分和最少次数

 

        这里咱们须要两个二维数组记录记录是从哪里“断开”(s),记录"每一段"到哪里截止(m)。以下图:

 

 

 

 使用一个长度为n+1的一维数组p来记录每一个矩阵的规模,其中n为矩阵下标i的范围1~n,例如对于矩阵Ai而言,它的规模应该是p[i-1]到p[i]。因为i是从1到n取值,因此数组p的下标是从0到n。

 

       用于存储最少乘法执行次数和最佳分段方式的结构是两个二维数组m和s,都是从1~n取值。m[i][j]记录矩阵链<Ai,Ai+1,...,Aj>的最少乘法执行次数,而s[i][j]则记录 最优质m[i][j]的分割点k。

 

       须要注意的一点是当i=j时,m[i][j]=m[i][i]=0,由于一个矩阵不须要任何乘法。

 

       假设矩阵链从Ai到Aj,有j-i+1个矩阵,咱们从k处分开,将矩阵链分为Ai~Ak和Ak+1到Aj两块,那么咱们能够比较容易的给出m[i][j]从k处分隔的公式:

 

       m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];

 

       在一组肯定的i和j值的状况下,要使m[i][j]的值最小,咱们只要在全部的k取值中,i<=k<j,寻找一个让m[i][j]最小的值便可。

 

       假设L为矩阵链的长度,那么L=j-i+1。当L=1时,只有一个矩阵,不须要计算。那么咱们能够从L=2到n进行循环,对每一个合理的i和j值的组合,遍历全部k值对应的m[i][j]值,将最小的一个记录下来,存储到m[i][j]中,并将对应的k存储到s[i][j]中,就获得了咱们想要的结果。

   根据上面的分析,不难给出过程的代码,注意这里使用的自底向上的方法:

 1 //Ai矩阵的行列分别是p[i-1]和p[i],1<=i<=n  
 2   
 3 /* 
 4  * 求解最少次数的乘法括号划分方案 
 5  */  
 6 void Matrix_Chain(int* p, int n, int** m, int** s) {  
 7   
 8     //①将对角线上的值先赋值为0  
 9     for (int i = 1; i <= n; i++) {  
10         m[i][i] = 0;  
11     }  
12   
13     int l = 0; //l为矩阵链的长度  
14   
15     //m[i][j]的第一个参数  
16         int i = 0;  
17   
18     //m[i][j]的第二个参数  
19     int j = 0;  
20   
21   
22   
23     int tmp = 0;  
24   
25     //②以长度L为划分,L从2开始到n  
26     for (l = 2; l <= n; l++) {  
27   
28         //循环第一个参数,由于l的长度至少为2,因此i和j在这个循环里面确定不相等  
29         for (i = 1; i <= n - l + 1; i++) {  
30             //由于j-i+1=l,因此j=l+i-1  
31             j = i + l - 1;  
32   
33             //给m[i][j]赋初值,这里要寻找m[i][j]的最小值,原本应当给m[i][j]赋值一个正无穷,可是这里直接赋一个i=j时候的特值也能够  
34             m[i][j] = m[i][i] + m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];  
35             s[i][j] = i;  
36   
37             //对于每一个特定的i和j的组合,遍历此时全部的合适k值,k大于等于i小于j  
38             for (int k = i + 1; k < j; k++) { //这里k不能等于j,由于后面要m[k+1][j],否则k+1就比j大了  
39   
40                 tmp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];  
41   
42                 if (tmp < m[i][j]) {  
43                     m[i][j] = tmp;  
44                     s[i][j] = k;  
45                 }  
46             }  
47         }  
48     }  
49 }  

通过上面的代码,咱们就求得了每种i和j组合对应的最小乘法次数m[i][j]和对应的最佳分割处s[i][j]。

3、输出最优构造划分:

 

       通过运行上面的代码,咱们就准备好了s[i][j],其中包含最佳分割信息。咱们可使用一种相似于中序遍历的方法来输出划分方式,好比对<A1,A2,A3,A4,A5>和他们对应的下标数组p而言。

void print_optimal_parens(int** s, int i, int j) {  
    if (i == j) {  
        cout << "A" << i;  
    } else {  
        cout << "(";  
        print_optimal_parens(s, i, s[i][j]);  
        print_optimal_parens(s, s[i][j] + 1, j);  
        cout << ")";  
    }  
}  

好比对于数组p={5,6,2,9,7,6}和<A1,A2,A3,A4,A5>通过上面两段代码的调用,输出划分结果:

 

((A1A2)((A3A4)A5))

 

最少乘法次数为:330次

                            转自:http://blog.csdn.net/cyp331203/article/details/42965237

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