【数学建模】1层次分析法模型部分

时间  2020-12-22
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目录

1 数学建模的任务分配

（1）数学建模三大块：建模+编程+写做
（2）模型讲解
• 简单例子
• 写做训练


编程

2 简介

层次分析法（The analytic hierarchy process 简称AHP）建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪一种方案最好、哪位运动员或者员工表现得更优秀）
AHP的主要特色是经过创建递阶层次结构，把人类的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操做的重要度的比较上面。在许多状况下，决策者能够直接使用AHP进行决策，极大的提升了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思惟方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别造成递阶层次结构，经过两两比较但方法肯定决策方案相对重要度但总排序。整个过程体现来人类决策思惟的基本特征，即分解、判断、综合，克服来其余方法回避决策者主观判断的缺点。
微信

3 模型介绍

3.1 评价类问题

高考毕业了，小明选择去哪一个学校
思考问题的思路以下：
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ide

3.2 拿到建模问题

优先在知网（万方、百度学术、谷歌学术）上搜一下相关文献
若是没有找到相关文献，则和小组成员来场头脑风暴+在平台上搜索别人或者专家的见解。
函数

3.3 推荐搜索网站

虫部落-快搜
优先级：
• 谷歌搜索
• 微信搜索
• 知乎搜索
例如本题咱们能够搜索关键字：
旅游选择因素、根据什么因素来选择旅游景点、旅游景点评价指标。





学习

3.4 肯定好指标

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3.5 肯定指标权重

（1）采用分而治之的思想

问题：一次性考虑五个指标之间的关系，每每考虑不周
解决方法：两两指标进行比较，最终根据两两比较的结果进行推算权重。
网站

（2）分而治之的思想

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（3）获得判断矩阵

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（4）再对每一个指标进行填写判断矩阵

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（5）解决判断矩阵中不一致现象

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• 先介绍一下什么叫一致矩阵
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spa

• 一致矩阵特色：各行和各列成倍数关系
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.net

• 一致矩阵的定义
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3d

• 一致性检验
原理：检验咱们构造的矩阵和一致性矩阵是否有太大的差异
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code

• 一致性检验的步骤
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若是一致性检验大于0.1，那就须要修正矩阵。
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• 两个小问题
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• 计算一致矩阵的权重
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（6）计算判断矩阵的权重

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方法一：算术平均化求权重
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• 算术平均法求权重的步骤：
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• 步骤的数学表示（可放到论文中）
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方法二：几何平均法
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方法三：特征值法求权重
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• 将计算结果填入权重表（特征值法最经常使用）
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• 代码实现求权重矩阵

%层次分析代码
disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
A=input('A=');
【n,n】=size(A);
x=ones(n,100);
y=ones(n,100);
m=zeros(1,100);
m(1)=max(x(:,1));
y(:,1)=x(:,1);
x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
i=i+1;
x(:,i)=A*y(:,i-1);
m(i)=max(x(:,i));
y(:,i)=x(:,i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i);
disp('权向量');disp(w);
disp('最大特征值');disp(t);
%如下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=【0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59】;
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
disp('此矩阵的一致性能够接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else
disp('此矩阵的一致性不能够接受!');
end

（7）Excel能够方便计算矩阵权重

F4能够锁定单元格，日后拖动计算公式，那锁定的那个单元格不会变。
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4 层次分析法完整建模过程

4.1 第一步-创建层次结构图

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生成层次结构图方法
方法一：PPT的SmartArt来生成层次结构图
方法二：专业 画图软件亿图图示(或processon)
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4.2 第二步-构造判断矩阵

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由于评价矩阵有主观性（能搜资料，参考专家的就参考专家的，没有也不要乱写），在论文撰写时，能够直接给出权重矩阵。例如别人的优秀论文
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4.3 第三步-计算判断矩阵相对权重

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4.4 第四步-计算合成权重排序

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5 层次分析法的局限性

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6 模型拓展

（1）层次分析法还适用于最后一层是1对2（这里的2表示大于1小于方案层全部的方案数量），但不是上面举例中1对3（3表示方案层中全部方案数量）
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（2）还适用于一个准则对应本身的多个方案。
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7 代码实现层次分析法

ccfx_Learn.m

%% 注意：在论文写做中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，而后再计算权重，由于只有判断矩阵经过了一致性检验，其权重才是有意义的。
%% 在下面的代码中，咱们先计算了权重，而后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
%% 所以你们本身写论文中若是用到了层次分析法，必定要先对判断矩阵进行一致性检验。
%% 并且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才须要进行一致性检验。
%% 若是你的判断矩阵自己就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。
%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法，能够直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也能够写成多行:
[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。
%% 方法1：算术平均法求权重
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)
[n,n] = size(A)  % 也能够写成n = size(A,1)
% 由于咱们的判断矩阵A是一个方阵，因此这里的r和c相同，咱们能够就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的缩写
% 另一种替代的方法以下：
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不一样），这里表示循环n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里咱们直接将两个矩阵对应的元素相除便可
% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)
% 第三步：将相加后获得的向量中每一个元素除以n便可获得权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，获得一个列向量
% 而后再将这个列向量的每一个元素同时除以n便可（注意这里也能够用./哦）
%% 方法2：几何平均法求权重
% 第一步：将A的元素按照行相乘获得一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数相似，一个用于乘，一个用于加  dim = 2 维度是行
% 第二步：将新的向量的每一个份量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每一个元素进行乘方操做，所以要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方，因此咱们等价求1/n次方
% 第三步：对该列向量进行归一化便可获得权重向量
% 将这个列向量中的每个元素除以这一个向量的和便可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
%% 方法3：特征值法求权重
% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其他位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也能够写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 须要用到find函数，它能够用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，咱们要获得最大特征值的位置，就须要将包含全部特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候能够用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
% 第二步：对求出的特征向量进行归一化便可获得咱们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 咱们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，而后再进行标准化。
%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('由于CR < 0.10，因此该判断矩阵A的一致性能够接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，所以该判断矩阵A须要进行修改!');
end
% % 注意：代码文件仅供参考，必定不要直接用于本身的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求很是严格，代码雷同也算做抄袭
% % 视频中提到的附件可在售后群（购买后收到的那个有道云笔记中有加入方式）的群文件中下载。包括讲义、代码、优秀的做业、我视频中推荐的资料等。
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