【算法】KMP算法

简介

KMP算法由 Knuth-Morris-Pratt 三位科学家提出，可用于在一个 文本串 中寻找某 模式串 存在的位置。
本算法能够有效下降在一个 文本串 中寻找某 模式串 过程的时间复杂度。（若是采起朴素的想法则复杂度是 \(O(MN)\) ）

这里朴素的想法指的是枚举 文本串 的起点，而后让 模式串 从第一位开始一个个地检查是否配对，若是不配对则继续枚举起点。

前置知识

真前缀
指字符串左部的任意子串（不包含自身），如 abcde 中的 a,ab,abc,abcd 都是真前缀但 abcde 不是。

真后缀
指字符串右部的任意子串（不包含自身），如 abcde 中的 e,de,cde,bcde 都是真后缀但 abcde 不是。

前缀函数
一个字符串中最长的、相等的真前缀与真后缀的长度， 如AABBAAA对应的前缀函数值是 \(2\) 。

原理

注意：在分析的时候，咱们规定字符串的下标从 \(1\) 开始。

开始：
咱们记扫描模式串的指针为j，而扫描文本串的指针为i，假设一开始i，j都在起点，而后让它们一直下去直到彻底匹配或者失配，好比：

j
ABCD

i
ABCDEFG

而后

j
ABCD

 i
ABCDEFG

最后在此完成了一次匹配，相似地若是ABCD改成ABCC则在此失配。

j
ABCD

   i
ABCDEFG

i，j运做模式如上。

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KMP算法就是，当模式串和文本串失配的时候，j指针从真后缀的末尾跳到真前缀的末尾，而后从真前缀后一位开始继续匹配。（从而起到减小配对次数，这即是KMP算法的核心原理）

结合例子解释：

模式串： \(AABBAAA\)

文本串： \(AABBAABBAAA\)

j指针在最后一个A处失配。

j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

由于此时 以j为尾的前缀 所对应的前缀函数值是 \(2\) ，因此 j指针 跳到这里：

j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

而后从下一位开始继续配对：

j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

最后

j
AABBAAA
          i
AABBAABBAAA

能够看出，KMP可以有效减小配对次数。

实现

咱们记模式串 为 p，文本串 为 s 。

从上面的模拟中，咱们发现须要预处理出一个数组（记之为next[]），它储存模式串中前缀对应的前缀函数\(\pi()\)，如对于字符串ABCABC ：

\(\pi(0)=0\) （由于什么都没有）
\(\pi(1)=0\) （A甚至没有真前缀和真后缀）
\(\pi(2)=0\) （AB）
\(\pi(3)=0\) （ABC）
\(\pi(4)=1\) （ABCA）
\(\pi(5)=2\) （ABCAB）
\(\pi(6)=3\) （ABCABC）

一样地，咱们发现若是用暴力朴素的想法来统计复杂度是 O(N^2) 很差，因而采用相似于上面的方法，只不过模式串配对的对象是本身罢了。

能够结合代码理解，并注意举例，尝试在纸上模拟这个过程。

for(int i=2,j=0;i<=lenp;i++){
        while(j && p[j+1]!=p[i]) j=next_[j]; // 若是j指向元素的下一个元素会和当前配对位置失配，则j跳回去
        if(p[j+1]==p[i]) j++; //若是可以配对上，j++
        next_[i]=j; //记录当前位置的前缀函数π
}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+5;
char p[N],s[N];
int next_[N];

int main(){
    cin>>s+1>>p+1;

    int lenp=strlen(p+1),lens=strlen(s+1);
    // build next array
    for(int i=2,j=0;i<=lenp;i++){
        while(j && p[j+1]!=p[i]) j=next_[j]; // 若是j指向元素的下一个元素会和当前配对位置失配，则j跳回去
        if(p[j+1]==p[i]) j++; //若是可以配对上，j++
        next_[i]=j; //记录当前位置的前缀函数π
    }

    for(int i=1,j=0;i<=lens;i++){
        while(j && p[j+1]!=s[i]) j=next_[j];
        if(p[j+1]==s[i]) j++;

        // if match
        if(j==lenp){
            j=next_[j];
            cout<<i-lenp+1<<endl;
        }
    }

    for(int i=1;i<=lenp;i++) cout<<next_[i]<<' ';
    cout<<endl;

    return 0;
}

复杂度

\(O(N+M)\)