动态规划算法——C++实现经典案例——初级

从简到繁，从易到难，按部就班。切近亲力亲为，动手写代码。

动态规划的详细知识点请参考：http://blog.csdn.net/misayaaaaa/article/details/71794620

动态规划算法的难点在于 从实际问题中抽象出动态规划表dp，dp通常是一个数组，多是一维的也多是二维的，也多是其余的数据结构：整个求解过程就能够用一个最优决策表来描述，最优决策表能够是一个二维表，其中行表示决策的阶段，列表示问题状态，表格须要填写的数据通常对应此问题的在某个阶段某个状态下的最优值（如最短路径，最长公共子序列，最大价值等），填表的过程就是根据递推关系，从1行1列开始，以行或者列优先的顺序，依次填写表格，最后根据整个表格的数据经过简单的取舍或者运算求得问题的最优解：

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}

最简单的台阶问题：有n级台阶，一我的每次上一级或者两级，问有多少种走完n级台阶的方法？

由分析可知：n阶台阶，只多是从n-1或是n-2的台阶上走上来的，台阶n的阶段依赖的是n-1和n-2的子阶段，因此状态转移方程为dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，属于最简单的动态规划问题

C++实现：

#include <iostream>

#define N 20        //台阶数为20
using namespace std;

int dp[N];          //全局数组，存放决策表

int fun(int n)      //返回台阶数为n的走法
{
	if (n == 1 || n == 2)
	{
		return n;
	}
	dp[n-1] = fun(n-1);        //若不为1或2则进行递归计算
	dp[n-2] = fun(n-2);
	dp[n] = dp[n-1]+dp[n-2];   //状态转移方程
	return dp[n];
}

int main(int argc,char** argv)
{
	fun(N);
	cout<<dp[15]<<endl;        //输出15阶的走法
	system("pause");
	return 0;
}

最短路径问题：给定一个矩阵m，从左上角开始每次只能向右走或者向下走，最后达到右下角的位置，路径中全部数字累加起来就是路径和，返回全部路径的最小路径和，若是给定的m以下，那么路径1,3,1,0,6,1,0就是最小路径和，返回12.

1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1
8 8 4 0

由分析可知：走到第(i ,j)个数时，只多是从(i-1 ,j)或是(i ,j-1)走来的，路径(i ,j)的阶段依赖的是(i-1 ,j)和(i ,j-1)的子阶段，因此状态转移方程为dp[i][j] =a[i][j] + min(dp[i-1][j]+ dp[i][j-1])，属于简单的动态规划问题

C++实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int dp[4][4] = {};     //全局数组，存放决策表

int main(int argc,char** argv)
{
	int a[4][4] = {1,3,5,9,8,1,3,4,5,0,6,1,8,8,4,0};  //矩阵存储a[i][j]
	for (int i = 0;i < 4;++i)
	{
		for (int j = 0;j < 4;++j)
		{
			if (i==0 && j==0)                         //边界条件问题须要考虑到
			{
				dp[i][j] = a[i][j];
			}
			else if (i==0 && j!=0)
			{
				dp[i][j] = a[i][j] + dp[i][j-1];
			}
			else if (i!=0 && j==0)
			{
				dp[i][j] = a[i][j] + dp[i-1][j];
			}
			else
			{
				dp[i][j] = a[i][j] + min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
			}
		}
	}

	cout<<"走到位置"<<"(4,4)"<<"最短路径为：";
	cout<<dp[3][3]<<endl;           //好像到这里又脑残了一次，真输出dp[4][4]了~

	system("pause");
	return 0;
}