没有除法的除法——LeetCode第29题

序言

7月初的时候挑战了一下LeetCode的第29题（中等难度，彷佛没什么值得夸耀的），题目要求在不使用除、乘，以及模运算的状况下，实现整数相除的函数。

既然被除数和除数都是整数，那么用减法就能够实现除除法了（多么naive的想法）。一个trivial的、用JavaScript编写的函数能够是下面这样的（为了简单起见，只考虑两个参数皆为正整数的状况）

function divide(n, m) {
  let acc = 0;
  while (n >= m) {
    n -= m;
    acc += 1;
  }
  return acc;
}

如此朴素的divide函数提交给LeetCode是不会被接受的的——它会在像2147483648除以2这样的测试用例上超时。能够在本地运行一下感觉下究竟有多慢

➜  nodejs time node divide.js
2147483648/2=1073741824
node divide.js  1.14s user 0.01s system 99% cpu 1.161 total

那么有没有更快的计算两个整数的商的算法呢？答案固然是确定的。

尝试优化

一眼就能够看出，运行次数最多的是其中的while循环。以2147483648除以2为例，while循环中的语句要被执行1073741824次。为了提高运行速度，必须减小循环的次数。

既然每次从n中减去m须要执行n/m次，那么若是改成每次从中减去2m，不就只须要执行(n/m)/2次了么？循环的次数一会儿就减小了一半，想一想都以为兴奋啊。每次减2m，而且自增2的算法的代码及其运行效果以下

➜  nodejs cat divide2.js
function divide(n, m) {
  let acc = 0;
  let m2 = m << 1; // 由于题目要求不能用乘法，因此用左移来代替乘以2。
  while (n >= m2) {
    n -= m2;
    acc += 2;
  }
  while (n >= m) {
    n -= m;
    acc += 1;
  }
  return acc;
}

console.log(`2147483648/2=${divide(2147483648, 2)}`);
➜  nodejs time node divide2.js
2147483648/2=1073741824
node divide2.js  2.65s user 0.01s system 99% cpu 2.674 total

尽管耗时不降反升，令场面一度十分尴尬，但根据理论分析可知，第一个循环的运行次数仅为原来的一半，而第二个循环的运行次数最多为1次，能够知道这个优化的方向是没问题的。

若是计算m2的时候左移的次数为2，那么acc的自增步长须要相应地调整为4，第一个循环的次数将大幅降低至268435456，第二个循环的次数不会超过4；若是左移次数为3，那么acc的步长增至8，第一个循环的次数降至134217728，第二个循环的次数不会超过8。

显然，左移不能无限地进行下去，由于m2的值迟早会超过n。很容易算出左移次数的一个上限为

对数符号意味着即使对于很大的n和很小的m，上述公式的结果也不会很大，所以能够显著地提高整数除法的计算效率。

在开始写代码前，让我先来简单地证实一下这个方法算出来的商与直接计算n/m是相等的。

一个简单的证实

记被减数为n，减数为m。显然，存在一个正整数N，使得

令

，再令

，那么n除以m等价于

证实完毕。

从上面的公式还能够知道，新算法将本来规模为n的问题转换为了一个规模为r的相同问题，这意味着能够用递归的方式来优雅地编写最终的代码。

完整的代码

最终的divide函数的代码以下

function divide(n, m) {
  if (n < m) {
    return 0;
  }

  let n2 = n;
  let N = 0;
  // 用右移代替左移，避免溢出。
  while ((n2 >> 1) > m) {
    N += 1;
    n2 = n2 >> 1;
  }

  // `power`表示公式中2的N次幂
  // `product`表明`power`与被除数`m`的乘积
  let power = 1;
  let product = m;
  for (let i = 0; i < N; i++) {
    power = power << 1;
    product = product << 1;
  }
  return power + divide(n - product, m);
}

这个可比最开始的divide要快得多了，有图有真相

➜  nodejs time node divide3.js
2147483648/2=1073741824
node divide3.js  0.03s user 0.01s system 95% cpu 0.044 total

后记

若是以T(n, m)表示被除数为n，除数为m时的算法时间复杂度，那么它的递推公式能够写成下列的形式

但这玩意儿看起来并不能用主定理直接求出解析式，因此很遗憾，我也不知道这个算法的时间复杂度究竟如何——尽管我猜想就是N的计算公式。

若是有哪位好心的读者朋友知道的话，还望不吝赐教。

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