量子搜索算法 Grover search
问题定义：
Problem：html
\(f: \{ 0,1,2,3,……,N-1 \} \rightarrow \{0,1\}\)算法
找到 \(f(x)=1\) 的xspa
解法
经典解法：orm
经典解法很简单，就是把每个都看一遍，若是只有一个x对应的f(x)=1，那么平均是要看一半，才能找到那个x。htm
时间复杂度O(N)blog
量子解法：get
使用Grover search 算法，时间复杂度在 \(O(\sqrt N)\)it
Grover search 算法
Grover search 算法一共分为两步：io
- Phase Inversion
- Inversion about the Mean
而后不断的迭代这两步咱们就可以获得结果了。form
首先咱们先看看这两个步骤分别在作什么：
咱们把 $f(x)=1 $ 的 \(|x\rangle\) 称为 \(x^*\) ，咱们要找的也就是这个 \(x^*\) 。
Phase Inversion:
这一步主要是把 \(x^*\) 的几率幅翻转，变成负数，而其余的保持不变。
即，把 \(\sum_{x } \alpha_x|x\rangle\) 变成 \(\sum_{x \neq x^*} \alpha_x|x\rangle -\alpha_{x^*}|x^*\rangle\)
Inversion about the Mean
这一步呢，就是把 \(\alpha_x\) 变成 \(2\mu- \alpha_x\)
\(\mu\) 是全部几率幅的平均值，\(\mu= \frac{\sum_x \alpha_x}{N}\)
用图可能更好表达这两个步骤究竟在作什么：
图1到图2，就是Phase Inversion，把\(x^*\)的几率幅翻转到了下面，图2中的虚线就是个人几率幅的平均值，图2到图3 就是咱们的Inversion about the Mean，对着平均值翻转一次，其他x的几率幅是高于平均值的，因此 \(2\mu- \alpha_x\) 让他们变小了，而咱们的 \(x^*\) 他的几率幅是个负数，因此 \(2\mu- \alpha_x\) 后他增长了。
不断的重复这个步骤， \(x^*\) 他的几率幅会愈来愈大，最后咱们测量的时候就会很容的找到他。
进行了 \(\sqrt N\) 后，他的几率幅就会达到 \(\frac{1}{ \sqrt 2}\) ，算几率就是1/2。
那么接下来的问题就是，这些操做是怎么实现的？
Phase Inversion:
这个步骤要作的事情就是，
把 \(\sum_{x } \alpha_x|x\rangle\) 变成 \(\sum_{x \neq x^*} \alpha_x|x\rangle -\alpha_{x^*}|x^*\rangle\)
符号是和f(x)是否为1相关的，进一步化简就是 \(\sum_x (-1)^{f(x)} \alpha_x|x\rangle\)
有没有一丝熟悉感？
把f(x)的结果给放到相位上去，这是咱们在Parity Problem中就遇到的问题。
当时的解决方法是把答案比特变成 \(|-\rangle\)。
通常状况，若是咱们打算放置答案的比特是 \(|b\rangle\)，那么输入的比特就是\(|b \oplus f(x)\rangle\)
若是f(x)=0 那么\(|( \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle) \oplus f(x) \rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle = |-\rangle\)
若是f(x)=1 那么\(( \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle) \oplus f(x) \rangle = \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle = -|-\rangle\)
最后一个比特的值若是在\(|+\rangle |-\rangle\)坐标下测量，必定是 \(|-\rangle\)，f(x)的差异也变到了符号上，即 \((-1)^{f(x)}\)
Inversion about the Mean
把 \(\alpha_x\) 变成 \(2\mu- \alpha_x\) ，这个就要比前一个麻烦了
这实际上是要求我把如今的态对着 \(\mu\) 翻转。
对着 \(\mu\) 翻转会吗？
不太会。
可是我会对着 \(|0\rangle\) 的翻转啊。
对角线第一个值为1，其他为-1，非对角线的都为0。
\(\left[ \begin{array}{} 1 & 0 & …& 0 \\ 0 & -1 & …& 0 \\…\\0 & 0 & …& -1 \end{array}\right]\left[ \begin{array}{} a_0\\a_1\\…\\a_{n-1} \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{} a_0\\-a_1\\…\\-a_{n-1} \end{array}\right]\)
这个矩阵垂手可得的可让 \(|0\rangle\) 保持不变，非 \(|0\rangle\) 的符号全都翻转。
量子变换要求矩阵式酉矩阵，这个矩阵很明显知足 \(UU^\dagger=U^\dagger U=I\)
接下来怎么作呢？
咱们先把咱们的态总体来一个从 \(|\mu\rangle\) 到 \(|0\rangle\) 的旋转，对着 \(|0\rangle\) 翻转后，又从 \(|0\rangle\) 到 \(|\mu\rangle\) 翻转回去。
\(|\mu\rangle\) 是一个怎样的态？
全部的x的几率都同样，也就是咱们的superposition \(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}} \sum_{x \in \{0,1 \}^n}|x\rangle\)
\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}} \sum_{x \in \{0,1 \}^n}|x\rangle\) 和 \(|0\rangle\)之间的相互转换，这就是咱们最最熟悉的Hadamard Transform了
第二部分的电路图以下：
这个矩阵是能够直接计算的：
我这里直接给出答案，获得的矩阵值呢是下图左边的这个矩阵：
在对应的 \(\alpha_x\)的结果刚好是 \(\frac{2}{N} \sum _{y=0}^{N} \alpha_y -\alpha_x\)
而 \(\frac{2}{N} \sum _{y=0}^{N} \alpha_y\) 刚好就是 \(2\mu\)
至此，呈上最完整的电路图模块：
第一个H门是数据的初始化，第二个门是为了翻转 \(x^*\)，第三四五个门是为了对 \(| \mu \rangle\) 翻转，二三四五这四个门就是要给重复的模块了，不断的重复他们就能够不断的提升 \(x^*\)的几率幅，最终找到 \(x^*\)。
参考资料：