1 金融衍生品引论

文章目录

• 1.1现金和银行存款的时间价值
• 1.2均值、标准差及波动率
• 1.3常见股票衍生产品
• 1.3.3 远期

1.1现金和银行存款的时间价值

• 银行存1元，未来的任意时刻，账户里除1，还得到利息。
• 如果年利率是 $r$r，且每年计息一次，一年后得到

$（1+r）$（1+r）

• 半年计息一次。半年后存款为
  $（1+\frac{r}{2}）$（1+2r​）
  并且作为下次计息的本金，再过半年银行的存款将会是
  $(1+\frac{r}{2})^{2}$(1+2r​)2

• 每个月计息一次，那年末存款
  $(1+\frac{r}{12})^{12}$(1+12r​)12

• 当计息频率无穷大时，收益是
  $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{r}{n})^{n}=e^{r}，e=2.718\cdots$n→∞lim​(1+nr​)n=er，e=2.718⋯

• 称连续复利计息

 

• 利率为常数 $r$r时，且连续复利计息时，0时刻开始，到 $t$t时刻银行存款价值为
  $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{r}{n})^{nt}=e^{rt}$n→∞lim​(1+nr​)nt=ert
• $t$t时刻的1美元，在0时刻是 $e^{-rt}$e−rt元。

 

• 如果 $r$r随时间变化，就有随时间变化的利率函数 $r(s)$r(s)，称短期利率
• 连续复利计息情况下。
• 存款变为
  $e^{(\int_0^t r(s)ds)}$e(∫0t​r(s)ds)
• $t$t时刻的1，0时刻就是
  $e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$e(−∫0t​r(s)ds)

 

• 银行账户时讨论金融问题的一个基本的参照点，因为这种资产可以带来没有任何风险的收益。
• 当一种投资带来的收益要小于银行存款利率并且还带有亏损的话，那么决策从金融角度讲将是愚蠢的。

 

• 除银行账户外还有另一个基本的参照点，

  • 那就是无息债券。

• 无息债券是有固定收益的债券，

  • 本金只在最终的到期日付给投资人，中间没利息。

• 这里考虑无风险的债券，美国的发行的国债在市场上认为没有风险。

  • 由于这种债券没有利息，初始价格自然要少于本金，
  • 但初始价格到底是多少取决于从现在至到期日的利率。

• $T$T时刻到期的本金为1的无息债券在 $t$t时刻的价值记为
  $B(t,T) 或者 B_{t}(T)$B(t,T)或者Bt​(T)

• 当利率非随机的并等于常数 $r$r时，那么初始价格是
  $B(0,t)=e^{-rt}$B(0,t)=e−rt

• 当利率是非随机,一个时间函数 $r(s)$r(s)，那么初始价格只能是
  $B(0,t)=e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$B(0,t)=e(−∫0t​r(s)ds)

• 如果短期利率是随机的，那么 $B(0,t)=e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$B(0,t)=e(−∫0t​r(s)ds)也是随机的，而不是一个确定的东西。然而，市场上是时时刻刻交易着无息债券的（也可以从有息债券中组合得到），故而无息债券应该是短期利率的某种概率下的期望，我们写成
  $B(0,t)=E(e^{(-\int_0^t r(s)ds)})$B(0,t)=E(e(−∫0t​r(s)ds))

• 如果想要模拟某种短期利率下的未来行为，那上式应该是一个约束。

• $B(0,t)$B(0,t)的值已经在市场上给出，那么我们就可以根据上式将其转化为一种连续复利利率，如下
  $B(0,t)=E(e^{(-\int_0^t r(s)ds)})=e^{-r(0,t)t}$B(0,t)=E(e(−∫0t​r(s)ds))=e−r(0,t)t
  这样，对一个时间 $t$t，就会有一个连续复利利率 $r(0,t)$r(0,t)。这个 $r(0,t)$r(0,t)在时刻0我们就可以知道的。但是短期利率 $r(t)$r(t)我们必须到时刻 $t$t才可以知道，在现在看来，他只是一个随机变量。

• 无息债券的初始价格与连续复利利息之间可以相互转换，

  • 给出了无息债券的初始价格，也就是给出了连续复利利率。

 

• 图1.2: 美国国券的在不同年度到期的利率。
• 一年,两年,直至三十年的利率都不同
• 本书中,多数情况下,都假设利率不变。
• 一个原因是为了简单起见,
• 另外一个原因是本书主要讨论的对象是股票衍生产品,
  • 而在股票衍生产品中,股价的变化是占第一位的,
  • 利率的变化是占第二位的,
  • 所以,我们可以忽略利率的变化而假定它们都相同。

 

 

• $B(0,t)=B_{0}{(t)}$B(0,t)=B0​(t)为贴现因子
• $r(0,t)$r(0,t)贴现率
• 把未来的现金价值换算成现在的现金价值是一个很重要的原理。

$t_1,t_2,......t_n$t1​,t2​,......tn​

• 有现金流
  $c_1,c_2,......c_n$c1​,c2​,......cn​

• 且从0到 $t_i$ti​时刻的连续复利率为
  $r_1,r_2,......r_n$r1​,r2​,......rn​

• 未来现金流的折现值就是
  $e^{-r_1t_1}c_1+e^{-r_2t_2}c_2+...+e^{-r_nt_n}c_n$e. . . + e − r n t n c n e^{-r_1t_1}c_1+e^{-r_2t_2}c_2+...+e^{-r_nt_n}c_n e−r1​t1​c1​+e−r2​t2​c2​+...+e−rn​tn​cn​

• 也把他称为现金流的折现值

 

• 退休养老金产品，
• 每年付现金 $c$c。
• 假定贴现利率为 $r$r，
• 按照连续复利和计算贴现之后，所有未来现金流的净现值成为：
  $ce^{-r}+ce^{-2r}+...+ce^{-nr}+...=\frac{ce^{-r}}{1-e^{-r}}$ce−r+ce−2r+...+ce−nr+...