《一个数学家的叹息》读后

原文来源：台湾《數學傳播》39卷1期, pp. 63-65
做者：台湾大学数学系退休教授张海潮

《一个数学家的叹息》(A Mathematician’s Lament)一书的做者Paul Lockhart (保罗·洛克哈特)是一个怪咖。他原本在美国布朗大学数学系任教,公元2000年, 洛克哈特忽然决定离职，自我“下放”到中小学去当老师。洛克哈特去的这间学校是纽约市布鲁克林区的Saint Ann’s school，该校的学生从幼儿园到高三都有， 洛克哈特在这里什么年级都教。

促成洛克哈特下放的缘由,照洛克哈特本身的说法是由于第一:洛克哈特以为大学很腐败,已经不是探讨学术的园地,而沦为争名逐利的地方。第二:洛克哈特再也不想教大学生,由于从中学上来,这些学生的数学已经毁了,他们不再能欣赏数学的真与美。

原来洛克哈特认为数学,正如音乐或美术,是一种艺术,而且是艺术最纯粹的形式(the purest form of arts)。在《叹息》这本书一开始,洛克哈特虚拟了一个音乐家从恶梦中醒来, 他本来是为了音乐的真与美去学弹琴，可是在音乐教育的过程里，却被各式各样的符号和格式弄得倒尽了胃口。

洛克哈特又以美术教育为例来批判数学。他说在一个美术课中, 老师必定会根据学生的特质个别指导, 对学生的绘画提供差别性的建议。而且, 几乎每一位美术老师都读过艺术史, 洞悉这门艺术近三百年的发展。可是谁都知道数学老师不管在差别性指导和对数学史的理解都不及格。

从艺术的角度审视数学的本质, 真与美, 或是检验数学教育的缺失—— 忽略学习者的想像力和差别性, 对我而言, 有如晴天霹雳, 以为很是惭愧。

长久以来, 数学老师必须面对学习方的质疑, 到底学数学有什麽用? 数学老师也竭尽所能解释数学是多么有用。可是因为科技的进步, 基础数学的用处全都隐藏在高科技的底层, 表面上彻底看不到。例如: 三角函数之用于测量,彻底被激光测距仪取代,高中教材中全部有关测量的题目都变得十分勉强, 由于与现实生活脱节。

关于这一点, 洛克哈特如何回应呢? 洛克哈特认为:

一件事物若是有实际上的用途,并不表示它的本质就是如此。音乐能够鼓舞军人上战场, 但这不是音乐的本质,米开朗基罗为教堂装饰,但他心中其实有更崇高的目的。数学应该被看成艺术来教,世俗所谓的「有用」,是真与美天然引起的副产品。贝多芬固然能写出漂亮的广告配乐,可是他们学习音乐的动机固然是为了创造美好的事物。

对于数学的真与美, 洛克哈特举了两个例子。

第一个是下面这个图:

咱们看到\(1+3 = 2^2\), \(1 +3+5 = 3^2\),$ 1 +3+5+7 = 4^2\(,\) 1+3+5 +7+9 = 5^2$, 这图告诉咱们,连续奇数相加会获得一个平方数,图形所展现的是平方数如何分解, 这是平方数的本质, 而图示的说明则用了最美的方式。

第二个是证实两直线相交, 对顶角相等:

图中有M,N 两条直线, 传统的证法是看出\(A + C = 180^{\circ}\), 而且\(B + C = 180◦^{\circ}\), 因此A = B, 可是洛克哈特认为A 是M 和N 而B 是N 和M 的夹角, 这两个角之相等是“天做之合”，是M 和N相交的本质,其正确性有如3 + 5 = 5 + 3, 是左右对称, 也是上下对称。

几乎全部的人都想问洛克哈特: 你为何不早点告诉我, 数学这么好玩? 这么有趣? 洛克哈特的回答应该是: 首先, 当你仍是一个很小、很小的小孩子, 当你尝试用手指头计算天天吃的糖果的时候, 你就是一个洛克哈特心中的数学家——尝试用数学来探索周遭有趣的问题。可是, 当你掉到了一些「数学老师」所布下的天罗地网时, 数学的真与美渐渐流失, 你必须背诵\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。

可是殊不知道这么难看的公式是从何而来。你要怪谁?你的数学老师可能像你同样, 历来未曾领悟过数学的真与美。而且, 在一种武断而压制的教学中, 老师们仅有的「善」也丧失了, 因而, 他会说“你怎么这么笨, 连$\log 2 = 0.3010 $都不会?” 可是, 老师, 你能够告诉我为何$10^{0.3010} = 2 $呢? 由于无知而失去了真, 由于庸俗而失去了美, 又由于独断而失去了善, 这就是如今数学教育的现场。

我所以推荐《叹息》给选我《数学思想通识课》的同窗,一位文组的同窗读后写了份感想,我转载一些与你们分享:

我很是讨厌数学,讨厌到甚至是只要一讲到「数学」两个字,就会开始掉眼泪。可是这本书,却让我能敞开心房, 去接受数学。原来, 三角形面积公式: 底乘高除以二,居然只是这么简单的概念;原来,半圆里的三角形,它的顶点不管在圆周的哪里, 都是直角,也是如此易懂的概念!之前我看到那些证实、公式,总认为他们是妖魔鬼怪,原来他们也能够这麽纯粹、充满创意!

这本书, 能够说是数学教育的乌托邦。虽然我也知道,这套教育理念要实现,可能真的有它的难度存在。可是我仍但愿,这样的想法可以在台湾的教育界流行, 让数学老师发现僵化的数学教育并不可行。目前的方法——背诵大量公式、做大量困难的习题,只会让学生更讨厌数学、更不肯意敞开心胸去接纳数学。若老师能重视带领学生思考问题的过程, 才可能引起学生学习的兴趣。

其实阅读这本书, 是让人难过的。由于想到本身的青春岁月,就这样由于不适合的教育方式,而没法好好的发挥本身的想法、没法尽情挥洒创意。把数学只是变成冷冰冰而死板的公式。最终, 没法在这样的体制下存活的脑壳,只能选择关机、放弃。
本来, 在高中毕业以后,我就发誓这辈子不再和数学产生任何瓜葛。可是在阅读完这本书后, 我改观了!数学应该是一个好玩的游戏,做数学不须要上课或读书, 只须要充满想像力,对世界充满好奇心。将来,我想我会从新面对数学, 不会再认为数学差是由于本身太笨了!

亲爱的读者: 这位同窗并无夸大其辞——数学教育真是积重难返,苦海无边啊!