【运筹学】线性规划人工变量法 ( 人工变量法案例 | 第二次迭代 | 中心元变换 | 检验数计算 | 最优解判定 | 选择入基变量 | 选择出基变量 )

时间 2021-01-21 标签运筹学线性规划单纯形法人工变量法

文章目录

一、第二次迭代 : 中心元变换

当前的单纯形表为 :

$c_j$	$c_j$		$3$	$2$	$-1$	$0$	$0$	$-M$	$-M$
$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	$X_B$ 基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	$\theta_i$
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$4$	$-4$	$3$	$1$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$4$ ( $\theta_6$ )
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$ )	$x_5$	$10$	$1$	$-1$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$5$ ( $\theta_5$ )
$-M$ ( 目标函数 $x_7$ 系数 $c_7$ )	$x_7$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$ ( $\theta_7$ )
$\sigma_j$ ( 检验数 )			$3-2M$ ( $\sigma_1$ )	$2+M$ ( $\sigma_2$ )	$-1 + 2M$ ( $\sigma_4$ )	$-M$ ( $\sigma_3$ )	$0$	$0$	$0$
第一次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$3$	$-6$	$5$	$0$	$-1$	$0$	$1$	移除	$\dfrac{3}{5}$ ( $\theta_6$ )
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$ )	$x_5$	$8$	$-3$	$3$	$0$	$0$	$1$	$0$	移除	$\dfrac{8}{3}$ ( $\theta_5$ )
$-1$ ( 目标函数 $x_3$ 系数 $c_3$ )	$x_3$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	移除	$-$ ( $\theta_3$ )
$\sigma_j$ ( 检验数 )			$5-6M$ ( $\sigma_1$ )	$5M$ ( $\sigma_2$ )	$0$	$-M$ ( $\sigma_4$ )	$0$	$0$	移除

中心元 : 其中 $x_2$ 是入基变量 , $x_6$ 是出基变量 , 单纯形表中 , $x_2$ 变量列与 $x_6$ 变量行的交叉点就是中心元 ;

中心元变换 : 以中心元为轴 , 作变换 ;

中心元位置变换成 $1$ ;
中心元同列的系数变换成 $0$ ;

当前约束方程组等式为 :

$s.t\begin{cases} -6x_1 + 5x_2 + 0x_3 -x_4 + 0x_5 + x_6 - x_7 =3 \\\\ -3x_1 + 3x_2 + 0x_3 + 0x_4 + x_5 + 0x_6 - 2 x_7 = 8 \\\\ 2x_1 - 2x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 + 0x_6 + x_7 = 1 \end{cases}$

$x_6$ 是出基变量 , 并且是人工添加上去的变量 , 这里直接将 $x_6, x_7$ 删除即可 ;

方程 $1$ 变换 ( 中心元系数变为 $1$ ) :

将 $-6x_1 + 5x_2 + 0x_3 -x_4 + 0x_5 + x_6 - x_7 =3$ 中 $x_2$ 的系数变为 $1$ , 在方程左右两边乘以 $\dfrac{1}{5}$ ; ( 删除了 $x_6, x_7$ )

$\begin{array}{lcl} \dfrac{-6x_1 + 5x_2 + 0x_3 -x_4 + 0x_5}{5} = \dfrac{3}{5} \\\\ -\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 = \dfrac{3}{5} \end{array}$

方程 $2$ 变换 ( 中心元同列系数变为 $0$ ) :

将 $-3x_1 + 3x_2 + 0x_3 + 0x_4 + x_5 + 0x_6 - 2 x_7 = 8$ 中 $x_2$ 的系数变为 $0$ , 在方程 $1$ 中 $-\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 = \dfrac{3}{5}$ 的等式左右两边乘以 $-3$ , 与上述方程相加即可 ; ( 删除了 $x_6, x_7$ )

$\begin{array}{lcl} ( -\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 ) \times -3 + ( -3x_1 + 3x_2 + 0x_3 + 0x_4 + x_5 ) = \dfrac{3}{5} \times -3 + 8 \\\\ \dfrac{3}{5} x_1 + 0x_2 + 0x_3 + \dfrac{3}{5}x_4 + x_5 = \dfrac{31}{5} \end{array}$

方程 $3$ 变换 ( 中心元同列系数变为 $0$ ) :

将 $2x_1 - 2x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 + 0x_6 + x_7 = 1$ 中 $x_2$ 的系数变为 $0$ , 在方程 $1$ 中 $-\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 = \dfrac{3}{5}$ 的等式左右两边乘以 $2$ , 与上述方程相加即可 ; ( 删除了 $x_6, x_7$ )

$\begin{array}{lcl} ( -\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 ) \times 2 + ( 2x_1 - 2x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 ) = \dfrac{3}{5} \times 2 + 1 \\\\ -\dfrac{2}{5} x_1 + 0x_2 + x_3 - \dfrac{2}{5}x_4 + 0x_5 = \dfrac{11}{5} \end{array}$

最终约束方程变为 :

$s.t\begin{cases} -\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 = \dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{3}{5} x_1 + 0x_2 + 0x_3 + \dfrac{3}{5}x_4 + x_5 = \dfrac{31}{5} \\\\ -\dfrac{2}{5} x_1 + 0x_2 + x_3 - \dfrac{2}{5}x_4 + 0x_5 = \dfrac{11}{5} \end{cases}$

二、第二次迭代 : 单纯形表

根据上述中心元变换结果 , 更新单纯形表 :

$c_j$	$c_j$		$3$	$2$	$-1$	$0$	$0$	$-M$	$-M$
$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	$X_B$ 基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	$\theta_i$
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$4$	$-4$	$3$	$1$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$4$ ( $\theta_6$ )
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$ )	$x_5$	$10$	$1$	$-1$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$5$ ( $\theta_5$ )
$-M$ ( 目标函数 $x_7$ 系数 $c_7$ )	$x_7$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$ ( $\theta_7$ )
$\sigma_j$ ( 检验数 )			$3-2M$ ( $\sigma_1$ )	$2+M$ ( $\sigma_2$ )	$-1 + 2M$ ( $\sigma_4$ )	$-M$ ( $\sigma_3$ )	$0$	$0$	$0$
第一次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$3$	$-6$	$5$	$0$	$-1$	$0$	$1$	移除	$\dfrac{3}{5}$ ( $\theta_6$ )
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$ )	$x_5$	$8$	$-3$	$3$	$0$	$0$	$1$	$0$	移除	$\dfrac{8}{3}$ ( $\theta_5$ )
$-1$ ( 目标函数 $x_3$ 系数 $c_3$ )	$x_3$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	移除	$-$ ( $\theta_3$ )
$\sigma_j$ ( 检验数 )			$5-6M$ ( $\sigma_1$ )	$5M$ ( $\sigma_2$ )	$0$	$-M$ ( $\sigma_4$ )	$0$	$0$	移除
第二次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
$2$ ( 目标函数 $x_2$ 系数 $c_2$ )	$x_2$	$\dfrac{3}{5}$	$-\dfrac{6}{5}$	$1$	$0$	$-\dfrac{1}{5}$	$0$	移除	移除	$?$ ( $\theta_2$ )
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$ )	$x_5$	$\dfrac{31}{5}$	$\dfrac{3}{5}$	$0$	$0$	$\dfrac{3}{5}$	$1$	移除	移除	$?$ ( $\theta_5$ )
$-1$ ( 目标函数 $x_3$ 系数 $c_3$ )	$x_3$	$\dfrac{11}{5}$	$-\dfrac{2}{5}$	$0$	$1$	$-\dfrac{2}{5}$	$0$	移除	移除	$?$ ( $\theta_3$ )
$\sigma_j$ ( 检验数 )			$?$ ( $\sigma_1$ )	$0$	$0$	$?$ ( $\sigma_4$ )	$0$	移除	移除

三、第二次迭代 : 计算检验数

1 . 计算非基变量 $x_1$ 的检验数 $\sigma_1$ :

$\sigma_1 = 3 - \begin{pmatrix} \quad 2 \quad 0 \quad -1 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad -\dfrac{6}{5} \quad \\\\ \quad \dfrac{3}{5} \quad \\\\ \quad -\dfrac{2}{5} \quad \end{pmatrix} = 3- ( 2 \times -\dfrac{6}{5} + 0 \times \dfrac{3}{5} + -1 \times -\dfrac{2}{5}) =5$

2 . 计算非基变量 $x_4$ 的检验数 $\sigma_4$ :

$\sigma_4 = 0 - \begin{pmatrix} \quad 2 \quad 0 \quad -1 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad -\dfrac{1}{5} \quad \\\\ \quad \dfrac{3}{5} \quad \\\\ \quad -\dfrac{2}{5} \quad \end{pmatrix} = 0 - ( 2 \times -\dfrac{1}{5} + 0 \times \dfrac{3}{5} + -1 \times -\dfrac{2}{5}) =0$

四、第二次迭代 : 最优解判定

根据上述三个检验数 $\begin{cases} \sigma_1 = 5 \quad ( 正数 )\\\\ \sigma_4 = 0 \quad ( 小于等于 0 ) \end{cases}$ 的值 , 其中 $\sigma_1$ 检验数大于 $0$ , 该基可行解不是最优解 ;

只有当检验数都小于等于 $0$ 时 , 该基可行解才是最优解 ;

五、第二次迭代 : 选择入基变量

根据上述三个检验数 $\begin{cases} \sigma_1 = 5 \quad ( 正数 )\\\\ \sigma_4 = 0 \quad ( 小于等于 0 ) \end{cases}$ 的值 , 选择检验数最大的非基变量作为入基变量 , $\sigma_1= 5$ 最大 , 这里选择 $x_1$ 作为入基变量 ;

六、第二次迭代 : 选择出基变量

出基变量选择 : 常数列 $b =\begin{pmatrix} \quad \cfrac{3}{5} \quad \\\\ \quad \cfrac{31}{5} \quad \\\\ \quad \cfrac{11}{5} \quad \\ \end{pmatrix}$ , 分别除以除以入基变量 $x_1$ 大于 $0$ 的系数列 $\begin{pmatrix} \quad -\cfrac{6}{5} \quad \\\\ \quad \cfrac{3}{5} \quad \\\\ \quad -\cfrac{2}{5} \quad \end{pmatrix}$ , 计算过程如下 $\begin{pmatrix} \quad 系数小于等于 0 不符合要求 \quad \\\\ \quad \cfrac{\dfrac{31}{5}}{\dfrac{3}{5}} \quad \\\\ \quad 系数小于等于 0 不符合要求 \quad \end{pmatrix}$ , 得出结果是 $\begin{pmatrix} \quad - \quad \\\\ \quad \cfrac{31}{3} \quad \\\\ \quad - \quad \end{pmatrix}$ , 如果系数小于等于 $0$ , 该值就是无效值 , 默认为无穷大 , 不进行比较 , 选择 $\cfrac{31}{3}$ 对应的基变量作为出基变量 , 查看该最小值对应的变量是 $x_5$ , 选择该 $x_5$ 变量作为出基变量 ;

七、第二次迭代 : 更新单纯形表

更新单纯形表 :

$c_j$	$c_j$		$3$	$2$	$-1$	$0$	$0$	$-M$	$-M$
$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	$X_B$ 基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	$\theta_i$
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$4$	$-4$	$3$	$1$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$4$ ( $\theta_6$ )
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$ )	$x_5$	$10$	$1$	$-1$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$5$ ( $\theta_5$ )
$-M$ ( 目标函数 $x_7$ 系数 $c_7$ )	$x_7$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$ ( $\theta_7$ )
$\sigma_j$ ( 检验数 )			$3-2M$ ( $\sigma_1$ )	$2+M$ ( $\sigma_2$ )	$-1 + 2M$ ( $\sigma_4$ )	$-M$ ( $\sigma_3$ )	$0$	$0$	$0$
第一次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$3$	$-6$	$5$	$0$	$-1$	$0$	$1$	移除	$\dfrac{3}{5}$ ( $\theta_6$ )
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$ )	$x_5$	$8$	$-3$	$3$	$0$	$0$	$1$	$0$	移除	$\dfrac{8}{3}$ ( $\theta_5$ )
$-1$ ( 目标函数 $x_3$ 系数 $c_3$ )	$x_3$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	移除	$-$ ( $\theta_3$ )
$\sigma_j$ ( 检验数 )			$5-6M$ ( $\sigma_1$ )	$5M$ ( $\sigma_2$ )	$0$	$-M$ ( $\sigma_4$ )	$0$	$0$	移除
第二次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
$2$ ( 目标函数 $x_2$ 系数 $c_2$ )	$x_2$	$\dfrac{3}{5}$	$-\dfrac{6}{5}$	$1$	$0$	$-\dfrac{1}{5}$	$0$	移除	移除	$-$ ( $\theta_2$ )
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$ )	$x_5$	$\dfrac{31}{5}$	$\dfrac{3}{5}$	$0$	$0$	$\dfrac{3}{5}$	$1$	移除	移除	$\dfrac{31}{3}$ ( $\theta_5$ )
$-1$ ( 目标函数 $x_3$ 系数 $c_3$ )	$x_3$	$\dfrac{11}{5}$	$-\dfrac{2}{5}$	$0$	$1$	$-\dfrac{2}{5}$	$0$	移除	移除	$-$ ( $\theta_3$ )
$\sigma_j$ ( 检验数 )			$5$ ( $\sigma_1$ )	$0$	$0$	$0$ ( $\sigma_4$ )	$0$	移除	移除

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