数论总结——更新ing

数论仍是有不少没学完 只是小小的总结

1、同余定理

1.反身性：\(a\equiv a (mod m)\)
2.对称性：若\(a\equiv b(mod m)\)，则\(b\equiv a (mod m)\)
3.传递性：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(b\equiv c(mod m)\)，则\(a\equiv c(mod m)\)
4.同余式相加：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(c\equiv d(mod m)\)，则\(ac\equiv bd(mod m)\)
5.同余式相乘：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(c\equiv d(mod m)\)，则\(ac\equiv bd(mod m)\)

2、最小公倍数与最大公约数

最大公约数：GCD
展转相除法：设\(gcd(a,b)\)为\(a\)与\(b\)的最大公约数

\[gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\Rightarrow gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \]

当\(b\)为0时，此时的\(a\)即为两者的最大公约数

long long gcd(long long a, long long b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }

最小公倍数：LCM
记\(d=gcd(a,b)\)，\(a=a'd\)，\(b=b'd\)，能够看出 \(lcm(a,b)=\frac{ab}{gcd(a,b)}\)

3、整除

给定\(a\),\(b\)两个数，若b能整除a，记做\(b\mid a\)，反之记做\(a\nmid b\)
简单定理：

• 若\(b\mid a\)，且\(c\mid b\)，则\(c\mid a\)
• 若\(c\mid a\)，且\(c\mid b\)，则\(c\mid \left(na+mb\right)\)

4、素数与合数

对于任意一个大于1的天然数，只有1和它自己两个因子，则称为素数
素数定理：小于等于x的素数个数 \(\approx \frac{x}{\ln x}\) ，能够用来估计素数个数，进而估算所开数组的大小
不是素数的大于1的天然数称为合数

素数筛法：

一、暴力枚举

复杂度：\(O(\log{n})\)
因为任意一个数\(x\)的因子可看为两部分，小于\(\sqrt{x}\)与大于\(\sqrt{x}\)，所以能够枚举全部\(\{i\mid i\le \sqrt{x}\}\)，如若出现\(i\mid x\)，则不是素数，反之是素数。
通常用于对某单个数的素性断定

bool check(int x)
{
	int end = sqrt(x);
	for (int i = 2; i <= end; ++i)
	{
		if (x % i == 0)
			return false;
	}
	return true;
}

拓展内容（求单个合数的最大质因数）
对于任何一个数\(x\)，能够将他进行质因数分解，且同时保证\(prime[i]^2\le x_{cur}\)进行优化。
首先能够预处理出全部\(\{prime\mid prime \le \sqrt{x}\}\)，这样\(x\)的质因数分解必定是在这个集合中，或者只有最大质因数不在这个集合中。若是所剩下的最后一个数为1，即完美的进行了质因数分解，则最大质因数为最后一次除的质数，反之则最后剩下的数即为最大质因数

const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn/10];

void Euler_Sieve()
{
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
		for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
		{
			vis[prime[j] * i] = true;
			if (i % prime[j] == 0)
				break;
		}
	}
}
int Maximum_prime_factor(int x)
{
	int ans;
	for (int i = 0; i < cnt && prime[i] * prime[i] <= x; ++i)
	{
		if (x % prime[i] == 0)
		{
			ans = prime[i];
			while (x % prime[i] == 0)
				x /= prime[i];
		}
	}
	return x == 1 ? ans : x;
}

二、埃氏筛法

复杂度：\(O(\log{\log{n}})\)
因为对于任何合数而言，他们可以被任意\(prime\) 整除，因此，能够经过枚举\(k*prime(k*prime\le lim_{up})\)，来筛选出一些约数，而没有被筛选过的天然就是素数
值得说明的是：当选中某个\(prime\)时，比\(prime\)小的质数的倍数已经被筛出了，因此为了减少时间复杂度，能够从\(prime^2\)开始筛选

const int maxn = 10000;
bool vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void Eratosthenes_Sieve()
{
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (vis[i]) continue;
		prime[cnt++] = i;
		for (int j = i * i; j < maxn; j += i)
			vis[j] = true;
	}
}

拓展内容（求出多个合数的最大质因数）
利用埃氏筛法是由小质数到大质数的筛选过程，每次大质数筛选时会覆盖以前小质数的结果，所以能够获得实现代码
注意：开始条件从\(i^2\)变为了\(2i\)

#include<cstdio>
const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void get_Maximum_prime_factors()
{
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (vis[i]) continue;
		prime[cnt++] = i;
		for (int j = 2*i; j < maxn; j += i)
			vis[j] = i;
	}
}

三、欧拉筛

复杂度：\(O(n)\)
经过对每一个合数，只用其最小的质因数进行筛选的思想，每次将\(cur*prime[i]\)对应的数筛出，为了保证最小的质因数筛出，当\(prime[i]\mid cur\)时，须要break
缘由在于设\(cur=k*prime[i]\)，那么若是继续筛即对于

\[n=cur*prime[i+1]=(prime[i]*k)*prime[i+1]=prime[i]*(k*prime[i+1]) \]

则能够看出来，这个数\(n\)本应该在枚举到数\(k*prime[i+1]\)(比\(cur\)大)被\(prime[i]\)筛出

void Euler_Sieve()
{
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
		for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
		{
			vis[prime[j] * i] = true;
			if (i % prime[j] == 0)
				break;
		}
	}
}

拓展内容（求出多个合数的最小质因数）
利用欧拉筛每一个数都被其最小质因数所筛去
注意：开始条件从\(i^2\)变为了\(2i\)

#include<cstdio>
const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void get_Maximum_prime_factors()
{
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (!vis[i]) vis[i] = prime[cnt++] = i;
		for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
		{
			vis[prime[j] * i] = prime[j];
			if (i % prime[j] == 0)
				break;
		}
	}
}

四、杜教筛

待学

五、min25筛

待学

5、欧拉函数