LeetCode 寻找两个有序数组的中位数 | 解二

寻找两个有序数组的中位数

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题目来源：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/submissions/

题目

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给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，而且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你能够假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

解题思路

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这里先理解中位数的概念：在统计学中，中位数指的是可将数值集合划分为相等的上下两部分，其中一部分的元素总大于另外一部分的元素。

根据这个概念，咱们如今对两个数组进行划分，num1 数组用大写 A 表示，num2 数组用大写 B。这里仅为方便书写。

先对 A 进行划分，在任意 i 处，将 A 划分为两部分：

在任意 j 处，也对 B 进行划分：

将 A 跟 B 两个数组的左边部分和右边部分，各合在一块

按照中位数的概念，只要保证左边部分与右边部分的长度相等，且左边部分的最大数小于右边部分的最小数，那么就能够求出中位数，即：

要知足上的两个式子，必须知足下面的条件：

只要知足上面的等式就可以找到中位数。

第一个条件中，因为 m + n 和的奇偶不定，分开分析：

由于 j 的取值为整数，最终都会向下取整。可是这里要注意，由于 j 的取值是不能为负的。因此必须知足 m <= n 的前提，不然 j 有可能小于 0，这样程序运行起来则会出错。

这种状况，即表示 i 的值太大，须要减少 i 的值，同时增大 j 的值。

上面是不考虑边界的问题，下面讲一下考虑边界的状况：

先考虑 i = 0，或者 j = 0，也就是在数组最前面划分。这个时候，左边部分当 j = 0 时，左边最大值则是 A[i-1]；当 i = 0 时，最大值就是 B[j-1]。

当 i = m 或者 j = n 的状况下，也就是数组在最后面划分。当 i = m 时，右边最小值就是 B[j]，当 j = n 时，右边最小值就是 A[i]

上面就是考虑 i 为 0 或者为 m 的状况。j 为 0 或者 n 的状况。这里 i 在变化的时候，j 是否会越出边界的问题，这个能够不考虑，以下推导：

代码实现

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class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2) -> float:
        m = len(nums1)
        n = len(nums2)
        # 这里要始终知足 m <= n 的条件，防止运行出错
        if m > n:
            nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m
        # 这里考虑的两个数组为空的状态，直接抛出异常
        if n == 0:
            raise ValueError

        # 只考虑 i 的取值，j 会随之变化，且不会越界
        i_min, i_max, half_len = 0, m, (m + n + 1) // 2
        while i_min <= i_max:
            i = (i_min + i_max) // 2
            j = half_len - i
            if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:
                # i 数值太小，增大 i
                i_min = i + 1
            elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
                # i 数值过大，缩减 i
                i_max = i - 1
            else:
                # 当 i 就是须要找的值时，
                # 考虑边界在最前面切分时，左边最大值的取值状况
                # 以及正常状况下，左边最大值的取值状况
                if i == 0:
                    max_of_left = nums2[j-1]
                elif j == 0:
                    max_of_left = nums1[i-1]
                else:
                    max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
                # 当为奇数的状况下，中位数就是左边的最大值
                if (m + n) % 2 == 1:
                    return max_of_left

                # 当在最后面切分时，右边最小值的状况
                # 以及正常状况下的，右边最小值的状况
                if i == m:
                    min_of_right = nums2[j]
                elif j == n:
                    min_of_right = nums1[i]
                else:
                    min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])

                # 数组长度之和为偶数的状况下，返回左边最大值和右边最小值的平均值
                return (max_of_left + min_of_right) / 2.0

实现效果

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以上就是《寻找两个有序数组的中位数》第二种解法，根据中位数的概念。

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