Bellman-Ford算法及其队列优化（SPFA）

时间 2019-11-25

标签 bellman ford 算法及其队列优化 spfa 繁體版

原文原文链接

1、算法概述算法

Bellman-Ford算法解决的是通常状况下的单源最短路径问题。所谓单源最短路径问题：给定一个图G=（V,E）,咱们但愿找到从给定源结点s属于V到每一个结点v属于V的最短路径。单源最短路径问题能够用来解决许多其余问题，其中包括下面几个最短路径的变体问题。包括单目的最短路径问题、单结点最短路径问题、全部结点对最短路径问题，这里不详细介绍。回到bellman-Ford,在这里，边的权重能够为负值。给定带权重的有向图G=（V,E）和权重函数W : E-->R,Bellman-Ford算法返回一个布尔值，以代表是否存在一个从源点能够到达的权重为负值的环路。若是存在这样的环路，算法将告诉咱们不存在解决方案。若是没有这种环路存在，算法将给出最短路径和它们的权重。边的权值能够为负数、实现简单，缺点是时间复杂度太高，高达O（VE）。但算法能够进行若干种优化，提升了效率。函数

天然语言描述测试

对有向图 $G(V,E)$ ，用贝尔曼-福特算法求以 $V_s$ 为源点的最短路径的过程：优化

创建 $dist[]$ ，表示目前已知源点到各个节点的最短距离，起始值 $dist[s]=0$ ，其他皆为 $\infty$ 。
创建 $Pred[]$ ， $Pred[]$ 表示某节点路径上的父节点，起始值皆为NULL。
对 $(V_i,V_j) \in E$ ，比较 $dist[V_i]+(V_i,V_j)$ 和 $dist[V_j]$ ,并将小的赋给 $dist[V_j]$ ，若是修改了 $dist[V_j]$ 则 $pred[V_j]=V_i$ （松弛操做）
重复以上操做 $V-1$ 次
再重复操做一次，如 $dist[V_j]>dist[V_i]+(V_i,V_j)$ ,则此图存在负权环。

伪代码表示
spa

BellmanFord(G,s)
 for i = 0 to n-1 do
  dist[i]= ∞
  Pred[i]= 0
 dist[s]=0
 for k = 1 to n-1 do
    foreach ∈ do
      if  do
         
         
foreach ∈ do
      if  do
         return "No Shortest Path"
 return dist[]

2、原理htm

为何说最短路径不存在负环呢？队列

若是图G包含从s能够达到的权重为负值的环路，则最短路径权重无定义。从s到该环路上的任意结点的路径都不多是最短路径，由于咱们只要沿着任何“最短”路径再遍历一次权重为负值的环路，则老是能够找到一条权重更小的路径。若是从结点s到结点v的某条路径上存在权重为负值的环路，咱们定义s到v的最短路径等于负无穷。
ip

松弛操做get

它的原理是对图进行V-1次松弛操做，获得全部可能的最短路径。对于一条边（u,v）的松弛过程为：首先测试一下是否能够对源点s到v的最短路径进行改善。测试的方法是，将从结点s到结点u之间的最短路径距离加上结点u与v之间的权重，并与当前的s到v的最短路径估计进行比较，若是前者更小，则对v.d（源点s到v的最短路径）和v.π（前驱结点）进行更新。
it

每次松弛操做其实是对相邻节点的访问，第 $n$ 次松弛操做保证了全部深度为n的路径最短。因为图的最短路径最长不会通过超过 $V-1$ 条边，因此可知贝尔曼-福特算法所得为最短路径。

负边权操做

与迪科斯彻算法不一样的是，迪科斯彻算法的基本操做“拓展”是在深度上寻路，用于有向无环图的最短路径算法对每条边仅松弛一次。Bellman-Ford“松弛”操做则是在广度上寻路，这就肯定了贝尔曼-福特算法能够对负边进行操做而不会影响结果。

负权环断定

由于负权环能够无限制的下降总花费，因此若是发现第 $n$ 次操做仍可下降花销，就必定存在负权环。

3、队列优化——SPFA

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。松弛操做一定只会发生在最短路径前导节点松弛成功过的节点上，用一个队列记录松弛过的节点，能够避免了冗余计算。复杂度能够下降到O(kE)，k是个比较小的系数(而且在绝大多数的图中，k<=2，然而在一些精心构造的图中可能会上升到很高)

实现方法：创建一个队列，初始时里只有起始点，再创建一个表格记录起始点到全部点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他自己的路径赋为0）。而后执行松弛操做，用队列里有的点去刷新起始点到全部点的最短路，若是刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空

判断有无负环：若是某个点进入队列的次数超过N次则存在负环 (存在负环则无最短路径，若是有负环则会无限松弛，而一个带n个点的图至多松弛n-1次 。参考：算法导论、http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B4%9D%E5%B0%94%E6%9B%BC-%E7%A6%8F%E7%89%B9%E7%AE%97%E6%B3%95#.E6.9D.BE.E5.BC.9B