数据结构（构造连通网的最小生成树）

普利姆算法

　　形象问题：几个村庄之间有N条路，要再路边修下水管道，求在那些路上修管道能在所有村庄连通的基础上使修的管道最短

　　中心思想：从一个顶点逐渐链接到所有顶点；在链接过程当中找权最小的边加入生成树中

方法

• 规定从第一个结点出发，找到链接的边中权最小的
• 将这条边加入生成树中
• 循环①，②步，不断找到链接一个顶点的权最小的边，直到链接玩所有顶点
• 顶点和这些边就构成了连通网的最小生成树

 1 //G是一个图结构体：
 2 //numVertexes：顶点个数
 3 //arc:邻接矩阵
 4 void MinSpanTree_prim(MGraph G){
 5     int min , i , j , k;
 6     int adjvax[MAXVEX];//到该位置对应顶点的最短路径的边的另外一个顶点【方便找到边后打印这条边的两个顶点下标】
 7     int lowcost[MAXVEX];//链接到下标对应顶点的边的最小权【为0表示已经找到；INFINITY表示还没找到；其余表示：目前为止的值】
 8             //既然说是目前为止，是由于之后链接到其余顶点，还会添加可选择的边；在这些新加的边中可能会刷新链接它的边的权最小记录
 9 
10     lowcost[0]=0;//第一个顶点做为最小生成树的根，权直接为0
11     adjvax[0]=0;//第一个顶点先加入
12 
13     //初始化操做
14     for(i=1;i<G.numVertexes;i++){
15         lowcost[i]=G.arc[0][i];//将邻接矩阵第0行全部权值加入数组（从第一个顶点开始到其余顶点的权）
16         adjvax[i]=0;//初始化所有为第一个顶点的下标
17     }
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19     //开始构建最下生成树
20     for(i=1;i<G.numVertexes;i++){//链接N个顶点，找N-1条边，分别从一个顶点找到其余N-1个顶点
21         min = INFINITY;//记录最小权值；初始化为65535；
22         j=1;//循环使用的索引值
23         k=0;//记录此次链接到的顶点的下标
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25         //遍历所有顶点
26         while(j<G.numVertexes){//找到可链接的最小权
27             if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j]<min){
28                 min=lowcost[j];
29                 k=j;//将找到的最小权值下标存入k;
30             }
31             j++;
32         }
33 
34         printf("(%d,%d)  ",adjcex[k],k);//打印当前顶点边中权值最小的边；adjcex[k]，边的起始下标；k,当前位置
35         lowcost[k]=0;//将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经链接到生成树中，继续进行链接下一个顶点
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37         //邻接矩阵k行逐个遍历所有顶点
38         for(j=1;j<G.numVertexes;j++){
39             if(lowcost[j]!=0 && G.[k][j] < lowcost[j]){
40                 lowcost[j]=G.arc[k][j];//刚刚链接的顶点下标k，链接到j位置顶点的权小于原先链接到j位置的权；那么就刷新链接他的最小权
41                 adjvax[j]=k;//将刷新链接j位置最小权的顶点的下标记录到adjvax数组j位置下；利用该值打印这条权最小记录的边:（adjvax[k],k）
42             }
43         }
44     }
45 }

克鲁斯卡尔算法

　　直接去找权最小的边来构建生成树（构建过程当中只要避免构成环便可）

方法

• 将图中全部边以权排序成边集，图中顶点去掉所有边（构成树林）
• 遍历边集数组，检测每条边依附的两顶点是否在同一颗树中【不在的话链接两顶点(树)组成一颗树；若在链接后就会构成环，因此舍弃这种边】
• 遍历完边集数组时就构造出了最小生成树

 1 int find(int *parent,int f){
 2     while(parent[f]>0){
 3         f=parent[f];
 4     }
 5     return f;
 6 }
 7 //parent数组：存储当前位置对应顶点在一棵树上的另外一个顶点的对应下标
 8     //因此刚开始时，存储下标对应的顶点是与自身位置对应顶点是直接相连的
 9     //当这个位置构建最小生成树会直接相连一个顶点以上时，那么下一个链接顶点下标会存储在第一个链接下标顶点对应位置
10     //例如:0下标顶点构建最小生成树时会链接1下标和3下标两个顶点对应位置顶点；那么：parent[0]=1;parent[1]=3;或者parent[0]=3;parent[3]=1
11 //总之parent数组中将同一颗树顶点的下标利用相似链表的方法链接在一块儿；
12     //给f传入一颗树任意顶点对应的下标返回的值（x）都是同样的；而且在parent[x]这个位置是存放这颗树下一次新加的顶点下标的
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14 //Kruskal算法生成最小生成树
15 void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G){
16     int i,n,m;
17     Edge edges[MAGEDGE];//定义边集数组
18     int parent[MAGEDGE];//定义parent数组用来判断边与边是否造成环路
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20     for(i=0;i<G.numVertexes;i++){
21         parent[i]=0;
22     }
23     for(i=0;i<G.numEdges;i++){
24         //edges:边集数组；边的结构：begin，起点；end,终点；weight，这条边的权
25         //n获得的是edges[i].begin这个下标所属树下一次新加顶点下标在prent数组中存储位置
26         //m获得的值也有edges[i].end顶点所属树的相同做用
27         //因此m==n就说明两顶点属于同一颗树（已经间接链接了，不须要再重复直接链接了；也就是不要造成环路）
28         //只有所属不一样树时才同时有添加的能力，合并两棵树至关于要用掉一棵树的添加能力，合并后的数的添加能力就要原先被添加树承担
29         n=find(parent,edges[i].begin);
30         m=find(parent,edges[i].end);
31         if(n!=m){//若是n==m,则造成环路
32             parent[n]=m;//将此边的结尾顶点放入下标起点的parent数组中，表示此顶点已经在生成树集合中
33             printf("(%d,%d)%d  ",edges[i].begin,edges[i].end,edges[i].weight);
34         }
35     }
36 }