AI笔记: 数学基础之随机变量及其分布

随机变量及其分布

1 ） 知识图谱

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2 ） 相关概念

• 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来标识，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量常用字母 $X, Y, \xi, \eta$X,Y,ξ,η 等表示
• 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
• 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.
• 离散型随机变量与连续型随机变量的区别和联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续型随机变量的结果不可以一一列出
• 若X是随机变量，Y = aX + b (a,b是常数), 则Y也是随机变量，并且不改变其属性(离散型，连续型)

3 ） 离散型随机变量的分布列

概率分布(分布列)

设离散型随机变量X可能取的不同值为 $x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n$x1​,x2​,...,xi​,...,xn​，X的每一个值 $x_i$xi​ (i = 1,2,…,n)的概率 $P(X=x_i) = p_i$P(X=xi​)=pi​, 则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的分布列

X	x1	x2	...	xi	...	xn
P	p1	p2	...	pi	...	pn

性质

• $p_i >= 0, i = 1,2,...,n;$pi​>=0,i=1,2,...,n;
• $\sum_{i=1}^n p_i = 1$∑i=1n​pi​=1

两点分布

如果随机变量X的分布列为下表，则称X服从两点分布，并称p = P(X=1) 为成功概率

X	0	1
P	1 - p	p

二项分布

• 如果一次实验中某时间发生的概率是p, 那么在n次独立重复实验中这个事件恰好发生k次的概率是 $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$P(X=k)=Cnk​pk(1−p)n−k, 其中k=0,1,2,…,n, q = 1-p
• 于是得到随机变量X的概率分布如下
  • X: 0, 1, …, k, …, n
  • P: $C_n^0 p^0 q^n, C_n^1 p^1 q^{n-1}, ..., C_n^kp^kq^{n-k}, ..., C_n^n p^n q^0$Cn0​p0qn,Cn1​p1qn−1,...,Cnk​pkqn−k,...,Cnn​pnq0
• 我们称这样的随机变量X服从二项分布，记为： $X ~ B(n,p)$X B(n,p), 并称 p 为成功概率
• 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：
  • 对立性: 即一次试验中事件发生与否二者必居其一
  • 重复性: 即试验是独立重复地进行了n次
  • 等概率性: 在每次试验中事件发生的概率相等
• 注意：二项分布的模型是有放回抽样，二项分布中的参数是p,k,n

4 ） 离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的均值

• 一般地，若离散型随机变量X的分布列为
  • X: $x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n$x1​,x2​,...,xi​,...,xn​
  • P: $p_1, p_2, ..., p_i, ..., p_n$p1​,p2​,...,pi​,...,pn​
• 则称 $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + ... + x_i p_i + ... + x_n p_n$E(X)=x1​p1​+x2​p2​+...+xi​pi​+...+xn​pn​ 为离散型随机变量X的均值或者数学期望
• 它反映了离散型随机变量取值的平均水平

性质：

• $E(aX + b) = aE(x) + b$E(aX+b)=aE(x)+b
• 若X服从两点分布，则 $E(X) = p$E(X)=p
• 若X~B(n,p), 则 $E(X) = np$E(X)=np

离散型随机变量的方差

• 一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
  • X： $x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n$x1​,x2​,...,xi​,...,xn​
  • P： $p_1, p_2, ..., p_i, ..., p_n$p1​,p2​,...,pi​,...,pn​
• 则称 $D(x) = \sum_{i=1}^n (x_i - E(x))^2p_i$D(x)=∑i=1n​(xi​−E(x))2pi​ 为随机变量X的方差，并称其算术平方根 $\sqrt{D(X)}$D(X) ​为随机变量X的标准差
• 它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度
  • D(X)越小，X的稳定性越高，波动越小，取值越集中
  • D(X)越大，X的稳定性越差，波动越大，取值越分散

性质

• $D(aX+b) = a^2D(X)$D(aX+b)=a2D(X)
• 若X服从两点分布，则 $D(X)=p(1-P)$D(X)=p(1−P)
• 若X~B(n,p), 则 $D(X) = np(1-P)$D(X)=np(1−P)

5 ) 正态分布

• 正态变量概率密度曲线函数表达式 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} * \sigma} e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, x \in R$f(x)=2π ​∗σ1​e−2σ2(x−μ)2​,x∈R
• 其中 $\mu, \sigma$μ,σ是参数，且 $\sigma > 0, - \infty < \mu < + \infty$σ>0,−∞<μ<+∞. 记为： $N(\mu, \sigma^2)$N(μ,σ2), 如下图

备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性

• 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为 $σ^2$σ2的正态分布，记为 $N(μ，σ^2)$N(μ，σ2)
• 其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度
• 当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布