重积分的计算与理解

主要分为二重积分和三重积分。

二重积分

二重积分的基本思想是变成两次积分。物理意义已知面密度f,算质量
即首先把y方向的每一根线段计算出质量(相当于把y的线捏起来了)，然后算x
主要方法如下：
计算 $\iint \limits_Df(x,y)$D∬​f(x,y)，其中D的形状已知。
画出D，然后做垂直x(或y)轴的线，看是否只有两个交点，如果是就叫x型区域
积分的时候，x的上下限是D能取到的最远的两头,y的上下限是任意位置x，y的上下限
具体看我的图D，椭圆与坐标轴围的图形,x1,x2表示最远能取到的位置,y1,y2表示任意x取到的y的最远位置

然后就是计算 $\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$∫x1​x2​​dx∫y1​(x)y2​(x)​f(x,y)dy
先算dy再算dx，算dy的时候x看作常数。
难点在于:如果不能用一个y(x)表示，那就得把x分段了
先算y也是一样的。
再次简单总结:
x在D的最远位置是x的积分上下限，y上下限是对任意x，y能取到的最远的位置
然后先对y再对x积分。如果不能用一个式子表示，就分段。
这是先x再y，当然先y再x也行

三重积分

分为先二后一和先一后二。
先二后一思想就是对任意z，有一个平面D，与z有关。所以算的时候先算D的二重积分，最后算z的
先一后二思想是对底面任意(x,y)有一个z，把z先积起来然后算对D的积分
当然，第一次积分后对z或者对D的积分结果都是另一个的函数。即对z积分以后是F(D)dD，对D积分后是F(z)dz
具体见图

所以，方法是：首先确定用哪个，一般选第二种，然后z的上下限是最大的能取到的位置
再然后算任意z处D的积分，像这里就要分成三部分算。
每一部分都用之前的方法：即确定x最大的上下限，然后任意x处y用x表示出来，找到上下限。
之后依次积就行。
最后给个例题，原题见华师大数分下P264第二题的(2)
试改变下列累次积分的顺序：
$\int_0^1dx\int_0^1dy\int_0^{x^2+y^2}f(x,y)dz$∫01​dx∫01​dy∫0x2+y2​f(x,y)dz
首先画出积分区域V。方法是首先画在x-y,x-z,y-z的投影然后再画在x=1,y=1上投影，脑补一下。

讲道理，一开始真的不好画，但是投影一下可能会好一点。
之后如果算的是以x-y为底面的话：
z的积分范围是0到2,但是发现z在取1前后切面的面积表示不一致，那么就分开来：

那么就分为两部分
z是0到1时，x是0到1，任取x，y是0到 $\sqrt{1-x^2}$1−x2 ​
z是1到2时，x是 $\sqrt{z-1}$z−1 ​到1，y是 $\sqrt{z-x^2}$z−x2 ​到1 然后按从外到内z,x,y的顺序积就好了 其他的类似。