电磁场与电磁波第二章 电磁场的基本规律

时间  2019-12-04
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第二章公式总结html

第二章 电磁场的基本规律

电荷守恒定律

在这里插入图片描述
电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。
源量为电荷 q ( r ′ , t ) q(r\prime,t) 和电流 I ( r ′ , t ) I(r\prime,t) ,分别用来描述产生电磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。web

1.电荷与电荷密度

  • 电荷是物质基本属性之一。
  • 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。
  • 1907－1913年间，美国科学家密立根(R.A.Miliken)经过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e = 1.60217733 × 1 0 − 19 e =1.602 177 33×10^-19 (单位：C),确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷量，而任何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。
  • 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。

理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：
点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷app

1.电荷体密度
在这里插入图片描述
电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度来描述其分布
ρ ( r ⃗ ) = lim ⁡ Δ V → 0 Δ q ( r ⃗ ) Δ V = d q ( r ⃗ ) d V \rho(\vec{r})=\lim\limits_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta V}=\frac{dq(\vec{r})}{dV} 单位：C/m3 (库仑/米3 )
根据电荷密度的定义，若是已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为
q = ∫ V ρ ( r ⃗ ) d V q=\int_{V}\rho(\vec{r})dV svg

2.电荷面密度
在这里插入图片描述
若电荷分布在薄层上的状况，当仅考虑薄层外，距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示。
ρ S ( r ⃗ ) = lim ⁡ Δ S → 0 Δ q ( r ⃗ ) Δ S = d q ( r ⃗ ) d S \rho_S(\vec{r})=\lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta S}=\frac{dq(\vec{r})}{dS} 单位: C/m2 (库仑/米2)
若是已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q 为
q = ∫ S ρ S ( r ⃗ ) d S q=\int_{S}\rho_S(\vec{r})dS 函数

3. 电荷线密度
在这里插入图片描述
在电荷分布在细线上的状况，当仅考虑细线外，距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。
ρ l ( r ⃗ ) = lim ⁡ Δ l → 0 Δ q ( r ⃗ ) Δ l = d q ( r ⃗ ) d l \rho_l(\vec{r})=\lim\limits_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta l}=\frac{dq(\vec{r})}{dl} 单位: C/m (库仑/米)
若是已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q 为
q = ∫ C ρ l ( r ⃗ ) d l q=\int_{C}\rho_l(\vec{r})dl spa

4.点电荷
在这里插入图片描述
对于总电量为 q 的电荷集中在很小区域 V 的状况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅须要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看做位于该区域中心、电量为 q 的点电荷。
点电荷的电荷密度表示
ρ ( r ⃗ ) = q δ ( r ⃗ − r ⃗ ′ ) \rho(\vec{r})=q\delta(\vec{r}-\vec{r}\prime)
位于 r = r ′ r=r\prime 处的点电荷q 的体密度为
q δ ( r ⃗ − r ⃗ ′ ) q\delta(\vec{r}-\vec{r}\prime) 设计

2.电流与电流密度

电流—电荷的定向运动而造成，用i 表示，其大小定义为：单位时间内经过某一横截面S的电荷量，即
i = lim ⁡ Δ t → 0 Δ q Δ t = d q d t i=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{dq}{dt}
单位: A （安培）
电流方向: 正电荷的流动方向
造成电流的条件：orm

  • 存在能够自由移动的电荷
  • 存在电场

说明：电流一般时时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定电流，用 I I 表示。
通常状况下，在空间不一样的点，电流的大小和方向每每是不一样的。在电磁理论中，经常使用体电流、面电流和线电流来描述电流的分别状态。
1.体电流
在这里插入图片描述
电荷在某一体积内定向运动所造成的电流称为体电流，用电流密度矢量 J ⃗ \vec{J} 来描述。
J ⃗ = e ⃗ n lim ⁡ Δ S → 0 Δ i Δ S = e ⃗ n d i d S \vec{J}=\vec{e}_n\lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta S}=\vec{e}_n\frac{di}{dS} 单位：A/m2 , e ⃗ n \vec{e}_n 为正电荷运动的方向
流过任意曲面S 的电流为
i = ∫ S J ⃗ ⋅ d S ⃗ i=\int_S \vec{J}\cdot d\vec{S} xml

2.面电流
在这里插入图片描述
电荷在一个厚度能够忽略的薄层内定向运动所造成的电流称为面电流，用面电流密度矢量 J ⃗ S \vec{J}_S 来描述其分布
J ⃗ S = e ⃗ t lim ⁡ Δ l → 0 Δ i Δ l = e ⃗ t d i d l \vec{J}_S=\vec{e}_t\lim\limits_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta l}=\vec{e}_t\frac{di}{dl} 单位：A/m , e ⃗ t \vec{e}_t 为正电荷运动的方向
经过薄导体层上任意有向曲线 l ⃗ \vec{l} 的电流为
i = ∫ l J ⃗ S ⋅ ( e ⃗ n × d l ⃗ ) i=\int_l \vec{J}_S\cdot (\vec{e}_n\times d\vec{l}) htm

3.电荷守恒定律（电流连续性方程）

  • 电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移到另外一部分，或者从一个物体转移到另外一个物体。
  • 电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。

电流连续性方程
积分形式: ∮ S J ⃗ ⋅ d S = − d q d t = − d d t ∫ V ρ d V \oint_S \vec{J}\cdot dS=-\frac{dq}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_V\rho dV
(流出闭合面S的电流等于体积V内单位时间所减小的电荷量)
微分形式: ∇ ⋅ J ⃗ = − ∂ ρ ∂ t \nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}

恒定电流的连续性方程
∂ ρ ∂ t = 0 \frac{\partial \rho}{\partial t}=0 —> ∇ ⋅ J ⃗ = 0 , ∮ S J ⃗ ⋅ d S = 0 \nabla\cdot\vec{J}=0,\oint_S \vec{J}\cdot dS=0

恒定电流是无源场，电流是连续的闭合曲面，既起点也无终点。
恒定电流场是一个无散度的场

真空中静电场的基本规律

静电场：由静止电荷产生的电场
重要特征：对位于电场中的电荷有电场力做用

1.库仑定律 电场强度

库仑（Coulomb）定律(1785年)
真空中静止点电荷 q1 对 q2 的做用力:
F ⃗ 12 = e ⃗ R q 1 q 2 4 π ε 0 R 12 2 = q 1 q 2 R ⃗ 12 4 π ε 0 R 12 3 \vec{F}_{12}=\vec{e}_R\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0R^2_{12}}=\frac{q_1q_2\vec{R}_{12}}{4\pi\varepsilon_0R^3_{12}}

  • 大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；
  • 方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；
  • F ⃗ 12 = F ⃗ 21 \vec{F}_{12}=\vec{F}_{21} 知足牛顿第三定律。
  • 电场力服从叠加原理
    真空中的N个点电荷 q 1 , q 2 , q 3 . . . q N q_1,q_2,q_3...q_N （分别位于 r ⃗ 1 , r ⃗ 2 , r ⃗ 3 . . . r ⃗ N \vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3...\vec{r}_N ）对点电荷q（位于 r ⃗ \vec{r} ）的做用力为
    F ⃗ q = ∑ i = 1 N F ⃗ q i q = ∑ i = 1 N q q i 4 π ε 0 R I 3 R ⃗ i ( R ⃗ i = r ⃗ − r ⃗ i ) \vec{F}_q=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{q_iq}=\sum_{i=1}{N}\frac{qq_i}{4\pi\varepsilon_0R^3_I}\vec{R}_i(\vec{R}_i=\vec{r}-\vec{r}_i)
    在这里插入图片描述

1.电场强度

电场强度矢量 E ⃗ \vec{E} —描述电场分布的基本物理量
空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的做用力，即
E ⃗ ( r ⃗ ) = lim ⁡ q 0 → 0 F ⃗ ( r ⃗ ) q 0 \vec{E}(\vec{r})=\lim\limits_{q_0\rightarrow 0}\frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0}
q 0 {q_0} —试验正电荷
根据上述定义，真空中静止点电荷q 激发的电场为：
E ⃗ ( r ⃗ ) = q R ⃗ 4 π ε 0 R 3 ( R ⃗ = r ⃗ − r ⃗ ′ ) \vec{E}(\vec{r})=\frac{q\vec{R}}{4\pi\varepsilon_0R^3}(\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}\prime)
体密度为 ρ ( r ⃗ ) \rho(\vec{r}) 的体分布电荷产生的电场强度,将体电荷公式代入
E ⃗ ( r ⃗ ) = ∑ i = 1 ρ ( r ⃗ i ′ ) Δ V i ′ R ⃗ i 4 π ε 0 R i 3 = 1 4 π ε 0 ∫ V ρ ( r ′ ⃗ ) R ⃗ R 3 d V ′ \vec{E}(\vec{r})=\sum_{i=1}\frac{\rho(\vec{r}_i\prime)\Delta V_i\prime \vec{R}_i}{4\pi\varepsilon_0R^3_i}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{V}\frac{\rho(\vec{r\prime})\vec{R}}{R^3}dV\prime
面密度为 ρ S ( r ⃗ ) \rho_S(\vec{r}) 的面分布电荷的电场强度
E ⃗ ( r ⃗ ) = 1 4 π ε 0 ∫ S ρ S ( r ′ ⃗ ) R ⃗ R 3 d S ′ \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{S}\frac{\rho_S(\vec{r\prime})\vec{R}}{R^3}dS\prime
线密度为 ρ l ( r ⃗ ) \rho_l(\vec{r}) 的线分布电荷的电场强度
E ⃗ ( r ⃗ ) = 1 4 π ε 0 ∫ C ρ l ( r ′ ⃗ ) R ⃗ R 3 d l ′ \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{C}\frac{\rho_l(\vec{r\prime})\vec{R}}{R^3}dl\prime

2. 几种典型电荷分布的电场强度

  • 均匀带电直线段的电场强度：
    在这里插入图片描述
    有限长:
    E r = ρ l 4 π ε 0 r ( c o s θ 1 − c o s θ 2 ) E_r=\frac{\rho_l}{4\pi\varepsilon_0 r}(cos\theta_1-cos\theta_2)
    E z = ρ l 4 π ε 0 r ( s i n θ 2 − s i n θ 1 ) E_z=\frac{\rho_l}{4\pi\varepsilon_0 r}(sin\theta_2-sin\theta_1)
    无限长:
    E ρ = ρ l 2 π ε 0 ρ E_\rho=\frac{\rho_l}{2\pi\varepsilon_0 \rho}

  • 均匀带电圆环轴线上的电场强度：
    在这里插入图片描述
    E z ( 0 , 0 , z ) = a ρ l z 2 ε 0 ( a 2 + z 2 ) 3 2 E_z(0,0,z)=\frac{a\rho_lz}{2\varepsilon_0(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}

  • 电偶极子的电场强度：
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的电荷系统，其远区电场强度为
    E ⃗ ( r ⃗ ) = 1 4 π ε 0 [ 3 ( p ⃗ ⋅ r ⃗ ) r ⃗ r 5 − p ⃗ r 3 ] = P 4 π ε 0 r 3 ( e ⃗ r 2 c o s θ + e ⃗ θ s i n θ ) \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}[\frac{3({\vec{p}\cdot\vec{r}})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{p}}{r^3}]=\frac{P}{4\pi\varepsilon_0r^3}(\vec{e}_r2cos\theta+\vec{e}_\theta sin\theta)

2.静电场的散度与旋度

1.静电场的散度和高斯形式

静电场的散度（微分形式）：
∇ ⋅ E ⃗ ( r ⃗ ) = ρ ( r ⃗ ) ε 0 \nabla\cdot \vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0} (推导见书P43)
静电场的高斯定理(积分形式)：
∮ S E ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = 1 ε 0 ∫ V ρ ( r ⃗ ) d V \oint_S \vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\vec{r})dV

高斯定理代表：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止于负电荷。

2. 静电场旋度与环路定理

静电场的旋度（微分形式）：
∇ × E ⃗ ( r ⃗ ) = 0 \nabla\times \vec{E}(\vec{r})=0
静电场的环路定理(积分形式)：
∫ c E ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d l ⃗ = 0 \int_{c}\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=0
环路定理代表:静电场是无旋场，是保守场，电场力作功和路径无关

3. 利用高斯定理计算电场强度

当电场分布具备必定对称性的状况下，能够利用高斯定理计算电场强度。
具备如下几种对称性的场可用高斯定理求解：

  • 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
    在这里插入图片描述
  • 轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。
    在这里插入图片描述
  • 无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。
    在这里插入图片描述

真空中恒定磁场的基本规律

安培力定律 磁感应强度

1. 安培力定律

安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在 1821～1825年之间，设计并完成了电流相互做用的精巧实验，获得了电流相互做用力公式，称为安培力定律。
在这里插入图片描述
实验代表，真空中的载流回路C1对 载流回路C2的做用力
F ⃗ 12 = μ 0 4 π ∫ C 2 ∫ C 1 I 2 d l ⃗ 2 × ( I 1 d l ⃗ 1 × R ⃗ 12 ) R 12 3 \vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_2}\int_{C_1}\frac{I_2d\vec{l}_2\times(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}
载流回路C2对载流回路C1的做用力
F ⃗ 21 = − F ⃗ 12 \vec{F}_{21}=-\vec{F}_{12}
知足牛顿第三定律

二、磁感应强度 B ⃗ \vec{B}

电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度 B ⃗ \vec{B} ，单位为T（特斯拉）。
磁场的重要特征是对场中的电流磁场力做
用，载流回路C1对载流回路 C2 的做用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回路 C2中的电流 I2 的做用力。
根据安培力定律，有
F ⃗ 12 = ∫ C 2 I 2 d l ⃗ 2 × μ 0 4 π ∫ C 1 ( I 1 d l ⃗ 1 × R ⃗ 12 ) R 12 3 = ∫ C 2 I 2 d l ⃗ 2 × B ⃗ 1 ( r ⃗ 2 ) \vec{F}_{12}=\int_{C_2}I_2d\vec{l}_2\times\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_1}\frac{(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}=\int_{C_2}I_2d\vec{l}_2\times\vec{B}_1(\vec{r}_2)
其中 B ⃗ 1 ( r ⃗ 2 ) = μ 0 4 π ∫ C 1 ( I 1 d l ⃗ 1 × R ⃗ 12 ) R 12 3 \vec{B}_1(\vec{r}_2)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_1}\frac{(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}
电流 I 1 I_1 在电流元 I 2 d l ⃗ 2 I_2d\vec{l}_2 处产生的磁感应强度

任意电流回路C产生的磁场感应强度
B ⃗ ( r ⃗ ) = μ 0 4 π ∫ C i d l ⃗ ′ × ( r ⃗ − r ⃗ ′ ) ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ 3 = μ 0 4 π ∫ C i d l ⃗ × R ⃗ R 3 \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C}\frac{id\vec{l}\prime\times(\vec{r}-\vec{r}\prime)}{|\vec{r}-\vec{r}\prime|^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C}\frac{id\vec{l}\times\vec{R}}{R^3}

电流元 i d l ⃗ ′ id\vec{l}\prime 产生的磁场感应强度
d B ⃗ ( r ⃗ ) = μ 0 4 π i d l ⃗ ′ × ( r ⃗ − r ⃗ ′ ) ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ 3 d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{id\vec{l}\prime\times(\vec{r}-\vec{r}\prime)}{|\vec{r}-\vec{r}\prime|^3}

体电流产生的磁场感应强度
B ⃗ ( r ⃗ ) = μ 0 4 π ∫ V J ⃗ ( r ⃗ ′ ) × R ⃗ R 3 d V ′ \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}\frac{\vec{J}(\vec{r}\prime)\times\vec{R}}{R^3}dV\prime

面电流产生的磁感应强度
B ⃗ ( r ⃗ ) = μ 0 4 π ∫ S J ⃗ S ( r ⃗ ′ ) × R ⃗ R 3 d S ′ \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{S}\frac{\vec{J}_{S}(\vec{r}\prime)\times\vec{R}}{R^3}dS\prime

3. 几种典型电流分布的磁感应强度

  • 载流直线段的磁感应强度：
    -
    B ⃗ = e ⃗ ϕ μ 0 I 4 π ρ ( c o s θ 1 − c o s θ 2 ) ( 有 限 长 ) \vec{B}=\vec{e}_\phi\frac{\mu_0 I}{4\pi\rho}(cos\theta_1-cos\theta_2)(有限长)
    B ⃗ = e ⃗ ϕ μ 0 I 2 π ρ ( 无 限 长 ) \vec{B}=\vec{e}_\phi\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}(无限长)
  • 载流圆环轴线上的磁感应强度
    -
    B ⃗ ( 0 , 0 , z ) = e ⃗ z μ 0 I a 2 2 ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 \vec{B}(0,0,z)=\vec{e}_z\frac{\mu_0I a^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}

恒定磁场的散度和旋度

1.恒定磁场的散度和磁通连续性原理

恒定场的散度(微分形式)：
∇ ⋅ B ⃗ ( r ⃗ ) = 0 \nabla\cdot\vec{B}(\vec{r})=0
磁通连续性原理(积分形式):
∫ S B ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = 0 \int_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0

磁通连续性原理代表：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和终点的闭合曲线

2.恒定磁场的旋度和安培环路定理

恒定磁场的旋度(微分形式):
∇ × B ⃗ ( r ⃗ ) = μ 0 J ⃗ ( r ⃗ ) \nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_0\vec{J}(\vec{r})
安培环路定理(积分形式):
∮ C B ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d l ⃗ = μ 0 ∫ S J ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = μ 0 I \oint_{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\mu_0\int_{S}\vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\mu_0I
安培环路定理代表:恒定磁场是有旋场，是非保守场，电流是磁场的漩涡源

3.利用安培环路定理计算磁感应强度

当磁场分布具备必定对称性的状况下，能够利用安培环路定理计算磁感应强度。

媒质的电磁特性

  • 媒质对电磁场的响应可分为三种状况：极化、磁化和传导。
  • 描述媒质电磁特性的参数为：介电常数、磁导率和电导率。

电介质的极化 电位移矢量

1.电介质的极化现象

在这里插入图片描述
电介质的分子分为无极分子和有极分子。在电场做用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。一般，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。

2.极化强度矢量 P ⃗ ( C / m 2 ) \vec{P}(C/m^2)

  • 极化强度矢量 是描述介质极化程 度的物理量，定义为

P ⃗ = lim ⁡ Δ V → 0 ∑ P ⃗ i Δ V = n p ⃗ \vec{P}=\lim\limits_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\sum \vec{P}_i}{\Delta V}=n\vec{p}

p ⃗ = q l ⃗ − 分 子 的 平 均 电 偶 极 矩 \vec{p}=q\vec{l}-分子的平均电偶极矩

  • p ⃗ \vec{p} 的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。
  • 极化强度与电场强度有关，其关系通常比较复杂。在线性、 各向同性的电介质中， 与电场强度成正比，即
    P ⃗ = x e ε 0 E ⃗ \vec{P}=x_e\varepsilon_0\vec{E}
    x e ( > 0 ) − 电 介 质 的 电 极 化 率 x_e(>0)-电介质的电极化率

3.极化电荷

因为极化，正负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。
(1)极化电荷体密度
在这里插入图片描述
在电介质内任意做一闭合面S，只有电偶极矩穿过S的分子对S内的极化电荷有贡献。因为负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿太小面元dS，所以dS对极化电荷的贡献为
d q p = − q n d d S c o s θ = − P d S c o s θ = − P ⃗ ⋅ d S ⃗ dq_p=-qnd dS cos\theta=-PdScos\theta=-\vec{P}\cdot d\vec{S}
S所围的体积内的极化电荷 q p q_p 为
q p = − ∮ S P ⃗ ⋅ d S ⃗ = − ∫ V ∇ ⋅ P ⃗ d V q_p=-\oint_S \vec{P}\cdot d\vec{S}=-\int_V \nabla\cdot \vec{P}dV
ρ p = − ∇ ⋅ P ⃗ \rho_p=-\nabla\cdot \vec{P}
(2)极化电荷面密度
在这里插入图片描述
紧贴电介质表面取如图所示的闭曲面，则穿过面积元的极化电荷为
d q p = q n d d S c o s θ = P d S c o s θ = P ⃗ ⋅ d S ⃗ dq_p=qnd dS cos\theta=PdScos\theta=\vec{P}\cdot d\vec{S}
故获得电介质表面的极化电荷面密度为
ρ S P = P ⃗ e ⃗ n \rho_{SP}=\vec{P}\vec{e}_n

4. 电位移矢量 介质中的高斯定理

介质的极化过程包括两个方面：

  • 外加电场的做用使介质极化，产生极化电荷；
  • 极化电荷反过来激发电场，二者相互制约，并达到平衡状 态。不管是自由电荷，仍是极化电荷，它们都激发电场，服从一样的库仑定律和高斯定理。

介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理获得：

∮ S E ⃗ ⋅ d S ⃗ = 1 ε 0 ∫ V ( ρ + ρ 0 ) d V \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V(\rho+\rho_0)dV
ε 0 ∇ ⋅ E ⃗ = ρ + ρ p \varepsilon_0\nabla\cdot \vec{E}=\rho+\rho_p

将极化电荷体密度表达式 ρ p = − ∇ ⋅ P ⃗ \rho_p=-\nabla\cdot \vec{P}
代入 ε 0 ∇ ⋅ E ⃗ = ρ + ρ p \varepsilon_0\nabla\cdot \vec{E}=\rho+\rho_p ，有 ε 0 ∇ ⋅ E ⃗ = ρ − ∇ ⋅ P ⃗ \varepsilon_0\nabla\cdot \vec{E}=\rho-\nabla\cdot \vec{P}
引入电位移矢量(单位为 C / m 2 C/m^2 )
D ⃗ = ε 0 E ⃗ + P ⃗ \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}
则有 ∇ ⋅ D ⃗ = ρ \nabla \cdot \vec{D}=\rho
其积分形式为 ∮ S D ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∫ V ρ d V \oint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\int_V\rho dV (任意闭合曲面电位移矢量 D 的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和 )

小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为
{ ∇ ⋅ D ⃗ = ρ ∇ × E ⃗ = 0 ( 微 分 形 式 ) \begin{cases} {\nabla\cdot \vec{D}=\rho}\\ {\nabla\times\vec{E}=0} \end{cases}(微分形式)

{ ∫ S D ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∫ V ρ d V ∫ C E ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d l ⃗ = 0 ( 积 分 形 式 ) \begin{cases} {\int_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\int_V\rho dV}\\ {\int_C \vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=0} \end{cases}(积分形式)

5.电介质的本构关系

极化强度 P ⃗ \vec{P} 和电场强度 E ⃗ \vec{E} 的之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质， P ⃗ \vec{P} 和 E ⃗ \vec{E} 有简单的线性关系
P ⃗ = ε 0 x e E ⃗ \vec{P}=\varepsilon_0x_e\vec{E}
在这种状况下由
D ⃗ = ε 0 ( 1 + x e ) E ⃗ = ε E ⃗ = ε r ε 0 E ⃗ \vec{D}=\varepsilon_0(1+x_e)\vec{E}=\varepsilon\vec{E}=\varepsilon_r\varepsilon_0\vec{E}
其中 ε = ε 0 ( 1 + x e ) = ε r ε 0 \varepsilon=\varepsilon_0(1+x_e)=\varepsilon_r\varepsilon_0 称为介质的介电常数， ε r = 1 + x e \varepsilon_r=1+x_e 称为介质的相对介电常数(无量纲)。

磁介质的磁化 磁场强度

1.磁介质的磁化

介质中的分子或原子内的电子运动造成分子电流，造成分子磁矩
在这里插入图片描述
P ⃗ m = i Δ S ⃗ \vec{P}_m=i\Delta\vec{S}
无外磁场做用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。
在这里插入图片描述
在外磁场做用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的磁化。

2. 磁化强度矢量 M ⃗ \vec{M}

磁化强度 M ⃗ \vec{M} 是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即
M ⃗ = lim ⁡ Δ V → 0 ∑ P ⃗ m Δ V = n p ⃗ m \vec{M}=\lim\limits_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\sum \vec{P}_m}{\Delta V}=n\vec{p}_m
单位为A/m

3. 磁化电流

在这里插入图片描述
磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。
(1)磁化电流体密度 J ⃗ M \vec{J}_M
考察穿过任意围线C所围曲面S的电流。只有分子电流与围线相交链的分子才对电流有贡献。与线元dl相交链的分子，中心位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流
d I M = n i Δ S ⃗ ⋅ d l ⃗ = n p ⃗ m ⋅ d l ⃗ = M ⃗ ⋅ d l ⃗ dI_M=ni\Delta\vec{S}\cdot d\vec{l}=n\vec{p}_m\cdot d\vec{l}=\vec{M}\cdot d\vec{l}
穿过曲面S的磁化电流为
I M = ∫ C d I M = ∫ C M ⃗ ⋅ d l ⃗ = ∫ S ∇ × M ⃗ ⋅ d S ⃗ I_M=\int_CdI_M=\int_C\vec{M}\cdot d\vec{l}=\int_S \nabla\times\vec{M}\cdot d\vec{S}
由 I M = ∫ S J ⃗ M I_M=\int_S{\vec{J}_M} 即获得磁化电流体密度
J ⃗ M = ∇ × M ⃗ \vec{J}_M=\nabla\times\vec{M}

(2)磁化电流面密度 J ⃗ S M \vec{J}_{SM}
在这里插入图片描述
在紧贴磁介质表面取一长度源dl，在此交链的磁化电流为
d I M = M ⃗ ⋅ l ⃗ = M ⃗ ⋅ e ⃗ t d l = M t d l dI_M=\vec{M}\cdot\vec{l}=\vec{M}\cdot\vec{e}_tdl=M_tdl
则 J ⃗ S M = M t \vec{J}_{SM}=M_t
即 J ⃗ S M = M ⃗ × e ⃗ n \vec{J}_{SM}=\vec{M}\times\vec{e}_n

4. 磁场强度 介质中安培环路定理

外加磁场使得介质发生磁化，磁化致使磁化电流。磁化电流一样也激发磁感应强度，两种相互做用达到平衡介质中的磁感应强度B 应是全部电流源激励的结果：
∇ × B ⃗ = μ 0 ( J ⃗ + J ⃗ M ) \nabla \times \vec{B}=\mu_0(\vec{J}+\vec{J}_M)
∮ C B ⃗ ⋅ d l ⃗ = μ 0 ∫ S ( J ⃗ + J ⃗ M ) ⋅ d S ⃗ \oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0\int_S(\vec{J}+\vec{J}_M)\cdot d\vec{S}
J ⃗ 和 J ⃗ M \vec{J}和\vec{J}_M 分别是传导电流密度和磁化电流密度
将极化电荷体密度表达式 J ⃗ M = ∇ × M ⃗ \vec{J}_M=\nabla\times \vec{M} 代入 ∇ × B ⃗ = μ 0 ( J ⃗ + J ⃗ M ) \nabla \times \vec{B}=\mu_0(\vec{J}+\vec{J}_M)
有
∇ × ( B ⃗ μ 0 − M ⃗ ) = J ⃗ \nabla \times (\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M})=\vec{J}
定义磁场强度 H ⃗ \vec{H} 为： H ⃗ = B ⃗ μ 0 − M ⃗ \vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M} ,即 B ⃗ = μ 0 ( H ⃗ + M ⃗ ) \vec{B}=\mu_0(\vec{H}+\vec{M})
则获得介质中的安培环路定理为：
∮ C H ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d l ⃗ = ∫ S J ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d S ⃗ \oint_C\vec{H}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\int_S \vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}
∇ × H ⃗ ( r ⃗ ) = J ⃗ ( r ⃗ ) \nabla\times\vec{H}(\vec{r})=\vec{J}(\vec{r})
磁通连续性定理为
∮ S B ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = 0 \oint_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0
∇ ⋅ B ⃗ ( r ⃗ ) = 0 \nabla\cdot \vec{B}(\vec{r})=0
小结：恒定磁场是有源无旋场，磁介质中的基本方程为
{ ∇ × H ⃗ ( r ⃗ ) = J ⃗ ( r ⃗ ) ∇ ⋅ B ⃗ ( r ⃗ ) = 0 ( 微 分 形 式 ) \begin{cases} {\nabla\times\vec{H}(\vec{r})=\vec{J}(\vec{r})}\\{\nabla\cdot \vec{B}(\vec{r})=0} \end{cases}(微分形式)
{ ∮ C H ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d l ⃗ = ∫ S J ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d S ⃗ ∮ S B ( r ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = 0 ⃗ ( 积 分 形 式 ) \begin{cases} {\oint_C\vec{H}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\int_S\vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}}\\{\oint_S\vec{B(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0}} \end{cases}(积分形式)

5. 磁介质的本构关系

磁化强度 M ⃗ \vec{M} 与磁场强度 H ⃗ \vec{H} 之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质， M ⃗ \vec{M} 和 H ⃗ \vec{H} 有简单的线性关系
M ⃗ = x m H ⃗ \vec{M}=x_m\vec{H}
其中， x m x_m 称为介质的磁化率(也成为磁化系数)。
这种状况下
B ⃗ = μ 0 ( 1 + x m ) H ⃗ = μ H ⃗ \vec{B}=\mu_0(1+x_m)\vec{H}=\mu\vec{H}
其中 μ = μ 0 ( 1 + x m ) = μ r μ 0 \mu=\mu_0(1+x_m)=\mu_r\mu_0 称为介质的磁导率， μ r = 1 + x m \mu_r=1+x_m 称为介质的相对磁导率(无量纲)
磁介质的分类
μ r > 1 \mu_r>1 顺磁质
μ r < 1 \mu_r<1 抗磁质
μ r > > 1 \mu_r>>1 铁磁质

媒质的传导特性

1.定义 存在能够自由移动带电粒子的介质称为导电媒质。在外场做用下，导电媒质中将造成定向移动电流。
在这里插入图片描述
2，公式 对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量 J 和电场强度 E 成正比，表示为
J ⃗ = σ E ⃗ \vec{J}=\sigma\vec{E}
这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数 σ \sigma 称为媒质的电导率，单位是S/m(西门子/米)。

电磁感应定律和位移电流

  • 电磁感应定律 —— 揭示时变磁场产生电场
  • 位移电流 —— 揭示时变电场产生磁场
  • 重要结论： 在时变状况下，电场与磁场相互激励，造成统一 的电磁场。

电磁感应定律

自从1820年奥斯特发现电流的磁效应以后，人们开始研究相反的问题，即磁场可否产生电流。
1881年法拉弟发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著明的法拉电磁感应定律。
1 法拉弟电磁感应定律的表述
当经过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时，回路中产生的感应电动势 ε i n \varepsilon_{in} 的大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即
ε i n = − d ψ d t \varepsilon_{in}=-\frac{d \psi}{dt}
负号表示感应电流产生的磁场老是阻止磁通量的变化。
设任意导体回路C围成的曲面为 S ′ S\prime ，其单位法向矢量为 e ⃗ n \vec{e}_n ，则穿过回路的磁通为
ψ = ∫ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ \psi=\int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}
ε i n = − d d t ∫ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ \varepsilon_{in}=-\frac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}
导体回路中有感应电流，代表回路中存在感应电场 ，回路中的感应电动势可表示为
ε i n = ∫ C E ⃗ m ⋅ d l ⃗ \varepsilon_{in}=\int_C\vec{E}_m\cdot d\vec{l}
于是有
∫ C E ⃗ m ⋅ d l ⃗ = − d d t ∫ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ \int_C\vec{E}_m\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}

对感应电场的讨论：

  • 感应电场是由变化的磁场所激发的电场；
  • 感应电场是有旋场；
  • 感应电场不只存在于导体回路中，也存在于导体回路以外的
    空间；
  • 对空间中的任意回路（不必定是导体回路）C ，都有
    ∫ C E ⃗ m ⋅ d l ⃗ = − d d t ∫ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ \int_C\vec{E}_m\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}

若空间同时存在由电荷产生的电场，则总电场 E ⃗ \vec{E} 应为 E ⃗ m \vec{E}_m 与 E ⃗ c \vec{E}_c 之和。因为 E ⃗ = E ⃗ m + E ⃗ c \vec{E}=\vec{E}_m+\vec{E}_c ，故有 ∫ C E ⃗ c ⋅ d l ⃗ = 0 \int_C\vec{E}_c\cdot d\vec{l}=0

∫ C E ⃗ ⋅ d l ⃗ = − d d t ∫ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ \int_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}
这就是推广的法拉第电磁感应定律
2.引发回路中磁通变化的几种状况：
(1)回路不变，磁场随时间变化
磁通量的变化由磁场随时间变化引发，所以有
d d t ∫ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∫ S ∂ B ⃗ ∂ t ⋅ d S ⃗ \frac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=\int_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}
∫ C E ⃗ ⋅ d l ⃗ = − ∫ S ∂ B ⃗ ∂ t ⋅ d S ⃗ \int_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\int_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}
相应的微分形式为
∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
(2)导体回路在恒定磁场中运动
ε i n = ∫ C E ⃗ ⋅ d l ⃗ = ∫ C ( v ⃗ × B ⃗ ) ⋅ d l ⃗ \varepsilon_{in}=\int_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=\int_C(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}

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