最大团问题-分支限界

问题描述：

　　给定无向图G=(V, E)，其中V是非空集合，称为顶点集；

　　E是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对经常使用圆括号“( )”表示。

　　若是U∈V，且对任意两个顶点u，v∈U有(u, v)∈E，则称U是G的彻底子图。

　　G的彻底子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的彻底子图中。G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。

　　若是U∈V且对任意u，v∈U有(u, v)∈E，则称U是G的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。

　　对于任一无向图G=(V, E)，其补图G'=(V', E')定义为：V'=V，且(u, v)∈E'当且仅当(u, v)∈E。

　　若是U是G的彻底子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。所以，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。

问题定义：

　　解空间树中结点类型：bbnode

　　活结点优先队列中元素类型为 CliqueNode（cn 表示与该节点相应的团的定点数，un表示结点为根的子树中的最大顶点树的上界。level表示结点在子集空间树中所处的层次；ch 左右儿子的结点标记）

　　ch=1  左儿子  ch=0  右儿子

　　ptr 指向解空间树中相应结点的指针

　　cn+n-level+1表示定点数上界的un值。

代码描述：

相关结构体定义:

class bbnode{ friend class Clique; private: bbnode * parent; bool LChild; }; class CliqueNode{ friend class Clique; public: operator int () const {return un;} private: int cn, un, level; bbnode *ptr; }; class Clique{ friend void main(void); public: int BBMaxClique(int []); private: void AddLiveNode(MaxHeap<CliqueNode> &H,int cn,int un,int level,bbnode E[],bool ch); int * * a ,n; };

AddLiveNode：将当前构造的活结点 加入到子集空间树中并插入活结点优先队列中。

void Clique::AddLiveNode(MaxHeap<CliqueNode> &H,int cn,int un,int level,bbnode E[],bool ch) { bbnode * b = new bbnode; b->parent = E; b->LChild = ch; CliqueNode N; N.cn = cn; N.level = level; N.un = un; N.Insert(N); }

算法核心代码：BBMaxClique

子集树的根节点是 初始扩展结点 cn为0      

i 表示当前扩展结点的解空间树中所处的层次。

 

首先考察左儿子：

　　顶点加入当前团，检查该顶点与当前团中其余顶点是否有边相连。

　　都有边，可行，归入 活结点 优先队列中,AddLiveNode(),接着考察当前扩展结点的 右儿子结点，仅当un>bestn时，右子树中可能含有最优解  ；

　　不然，不可行。

int Clique::BBMaxClique(int bestx[]) { MaxHeap<CliqueNode> H(1000); bbnode * E = 0; int i=1, cn = 0, bestn = 0; while(i != n+1) { bool OK = true; bbnode * B = E; for(int j = i-1;j>0;B=B->parent,j--) { if(B->LChild && a[i][j]==0) { OK = false; break; } } if(OK) { if(cn + 1 > bestn) bestn = cn + 1; AddLiveNode(H,cn+1,cn+n-i+1,i+1,E,true); } if(cn+n-i >= bestn) AddLiveNode(H,cn+1,cn+n-i+1,i+1,E,true); CliqueNode N; H.DeleteMax(N); E = N.ptr; cn = N.cn; i = N.level; } for(int j=n;j>0;j--) { bestx[j] = E->LChild; E = E->parent; } return bestn; }