计算机的运算方法

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计算机的运算方法

无符号数

计算机中的数存放在寄存器中,一般将寄存器的位数称为机器字长, 你们说的无符号数其实就是不区分正负号的数,换句话说,就是没负数,全是正数,你们知道,计算机中的数是以0-1存储的, 假如咱们的寄存器16位, 无符号数表示的范围就是0~65535 (2^64=65536), 有符号就是分正负数,总数65536就被分红两半,一半正数,通常负数,范围就是 -32768~32767

有符号数

有符号数,就是正负数同时存在, 人们当然能区分开整正负数,计算机怎么区分呢?

前面说了,计算机只认识01这样的数,因而人们规定 0表示正数, 1表示负数, 因而这样符号就被数字化了, 而且规定将其放在真实值前面, 因而有符号数就诞生了

如上图,按照计算机存数数据的特性将符号数字化, 数字化后的编码方式获得的结果称为机器数, 将带有+-符号的数字称为真值

既然如今将有符号数数字化后,新的问题来了,当这些机器数之间须要进行运算时, 符号位怎么办? 符号位可否参加机器数之间的运算呢? 若是说,须要参加运算又须要哪些处理才能消除符号位对计算结果的影响呢? 这一连串问题就引出了符号位和数值位所构成的编码: 原码 , 补码 , 反码 , 移码

其实在学习的过程当中该一直问本身,本身在干什么??? 就好比如今,我在前面大概说了说计算机是如何表示数字的，因而认识了机器码，机器码之间须要进行运算于为了设计出使机器码运算的方式，人们对机器码进行不一样的变形编码，获得了，原码 ， 补码， 反码 ， 移码等， 下面看一下这几种编码的由来，以及他们对实现机器码的可计算的贡献

原码

原码是机器码最简单的一种变形，一样的它的符号位0表示正数，1表示负数。 数值位就是真值的绝对值

人们为了书写方便已经区分小数和整数，在符号位和数值位之间使用逗号分隔

整数的原码

举个例子:

x= +1110, 那么它的原码就是 0，1110
x= -1110, 原码=1，1110

小数的原码

举个例子

x= 0.1101 ,  那么它的原码就是      0.1101
x= -0.1101,  原码=1 - (-0.1101) = 1.1101

看上面的原码计算方式，显然机器码很容易就转成原码，可是想一想若是用原码进行数值运算的话就会带来不少麻烦，咱们得先判断两个机器数绝对值的大小而后用大的减去小的，最终的符号再按照绝对值大的算， 并且咱们须要设计两套运算流程，一套给加法用，一套给减法用， 可是前辈们很智慧，由于人们找到了一种方式，找到了一个正数去替换原来减数位置的负数，相似像下面这样，实现了在计算机中仅仅设计一套加法器就实现加减法的运算

5-3=2
5+(-3)=2

上述方法的实现就依赖于下面的补码

补码

补码的概念和补数的概念很像， 好比如今时钟六点了，咱们想让它指向三点，因而咱们能够往回转3（6-3=3）圈时针能回退到3点，也能够往前转9圈（6+9=15），能够前进到三点， 对时钟来讲往顺时针仍是逆时针的过程不同，可是对咱们来讲结果是同样的，都是三点了

这个过程就相似于，找到一个正数，让这个正数代替负数去参加运算，使用加法运算器也能获得正确的结果

时钟旋转一圈12小时，在这12小时中是不被显示且自动丢失的，也就是说 15-3=3 点， 因而咱们能够说，其实对时钟来讲， -3 +9 的做用实际上是一致的，结果都是三点， 在数学上咱们将12称为模 ，写成mod 12 ， 咱们管9 称为是 -3以12为模的补数

因而咱们得知，只要咱们肯定了模，咱们就能求出这个数对这个模的地位相同的补数，或者说当咱们想将已知的负数转换成能够替换他的正数的话，借助模就能够完成

如何利用模求补数呢？

• 正数的补数是它自己
• 负数能够用它的正补数等价替换
• 负数的补数= 模+负数自己

如何进行求模示例：

-3    全等于 +7    (mod10)
+7    全等于 +7    (mod10)
-3    全等于 +97   (mod100)

-1011 全等于 +0101    (mod2^4)
2^4=1 0 0 0 0
-     1 0 1 1
---------------
      0 1 0 1
   
+0101  全等于 +0101   (mod2^4)

小数的mod = 2
+0.1001 全等于 +0.1001  (mod2)

-0.1001 全等于 +1.0111  (mod2)
 1 0.0 0 0 0
-  0.1 0 0 1
--------------
   1.0 1 1 1

求补码的公式

求负数补数的示例

其实你们能够看一下,对负数的公式来讲,公式中的n就是负数的位数, -1101 一共四位, n=4, 可是取的是n+1位, 换句话说是用一个比原负数多两位的数加上这个负数, 多出来一个符号位, 最后的结果中别忘了用 逗号分隔符号位和数值位, 固然这是为了方便咱们本身看,让人们一眼看去知道最开始的1是个符号位,后面的数才是 想求的补数结果

小数求补码的公式

举个例子: 求 -0.0110 的补码

此外, +0 -0的补码都是 0

从上面的讨论咱们知道,之因此想引入补码是为了消除减法运算,即将一个负数转换成它的正数补码,可是根据补码的定义,你们能够看到上面的两个例子,在产生补码的过程当中又出现了减法运算,怎么办呢?

因而咱们这样求补码: 先求原码, 而后变换这个原码获得补码, 怎么变换呢? 就是将除了 符号位的原码其它为取反 以后再加1

举个例子: 上面的就用 -1101 来讲, 以下:

因而看到这里咱们完全知道了,只为计算机设计一个加法器是彻底ok的,下文会介绍如何运算

反码

经过上面的运算咱们知道下面的运算规则

原码(符号位,数值位) => 除符号位外其余位取反  = 反码
反码+1 = 补码
补码-1 = 反码

由此可知,其实这个反码就是原码和补码双方转换时的中间状态

小结

• 原码,反码,补码的最高位都是符号位, 符号位和数值位之间使用.或者逗号分隔(小数用点, 整数用逗号)
• 真值为整数时, 原码,反码,补码的表示形式是相同的
• 虽然真值为负数时,原码.反码补码各不相同,可是最高位的符号为都是1, 而且原码求反+1=补码 , 原码每位求反=反码

移码

真值转换成补码后,因为符号位和数值位是一块儿进行编码的,所以人们很难分清补码之间的大小

就像下面这样

十进制的21  对应二进制为+10101  补码为 0,10101
十进制的-21  对应二进制为-10101  补码为 1,01011
十进制的31  对应二进制为 +11111  补码为 0,11111
十进制的-31  对应二进制为-11111  补码为 1,00001

直观上看他们的大小是 101011>010101 100001>011111 而实际上偏偏相反

因而咱们这样, 在每个真值的基础上加上一个2^n , 状况就发生了变化

+10101  加上2^5  得 110101
-10101  加上2^5  得 001011
+11111  加上2^5  得 111111
-11111  加上2^5  得 000001

这样的话不须要借助补码,六位代码自己就能看到出真值的大小

更进一步,经过观察能够发现,其实一个数的补码和移码之间就差一个符号位,换句话说,若是咱们将补码的符号位从0换为1,或者从1换成0获得的就是它的移码, 在这基础上比较大小获得的结果是准确的

此外正负零的移码的同样的

移位运算

计算机中的机器数的字长每每是固定的,当机器数左移n位或者是又移n位时,势必会却是另一边出现空位,那么在出现空位的位置究竟是补充1仍是填充0呢? 这取决于机器数是有符号仍是无符号,其中有符号的机器数采起的位移称为算数位移,无符号的惟一称为逻辑位移

算数位移的移位规则

真值	码制	补填代码
正数	原码,补码,反码	0
负数	原码	0
负数	原码	左移添0
负数	补码	右移添1
负数	反码	1

不管是正数仍是负数,移位后的符号位都是不变的

举几个例子

机器数        十进制
移位前 : 0,0011010      +26
左移1位: 0,0110100      +52
右移1位: 0,0001101      +13

左移一位,除符号位外原来的最高位被移走了,右边空出的1位用0补全,可是高位丢失了其实获得的就是错误的结果,可是这个错误的结果刚好是原值的2倍,并且惟一运算速度还快,所以不少框架的底层都青睐使用这个位移运算的特性

每次右移时,最右边的数就会丢失,精度收到影响

左移一位至关于乘以2,右移1位至关于除以2

逻辑位移的移位规则

逻辑左移,高位丢失,低位填0, 逻辑右移,低位丢失,高位补0

加法与减法运算

回到一开始话题,计算机的运算方法,前面经过补码的介绍咱们知道了只设计一套加法器实际上是可行的,下面具体看一下是如何进行运算的

即 A-B = A + (-B)

补码的加法公式

整数:  [A]补 + [B]补 = [A+B]补  (mod 2^n+1)
小数:  [A]补 + [B]补 = [A+B]补  (mod 2)

对于减法来讲

整数:  [A-B]补 = [A]+[-B]补  (mod 2^n+1)
小数:  [A-B]补 = [A]+[-B]补  (mod 2)

最后看一个例子: 看看计算机如何将减法转换成加法并携带符号位运行得出正确结果

假设机器8位(含一位符号位),若A=+15 B=+24, 让咱们求 [A-B]补 ,并还原真值

A=+15 = +0001111  (算上+号一共八位)           
b=+24 = +0011000  (算上+号一共八位)

A和B都是整数,因此他们的补码就是原码自己:
[A]补 = 0,0001111
[B]补 = 0,0011000

[-B]原码 = 1，0011000
[-B]反码 = 1，1100111  （ 除符号位取反获得反码：）
[-B]补   = 1，1101000   （由反码+1获得）

[A-B]补 = [A]补 + [-B]补  
        = 0,0001111 + 1，1101000
        = 1,1110111
 
那么 A-B = 啥呢? 反着换回去
1，1110111 
1，1110110  （末位减1再取反）
1，0001001 = -0001001 = -9