alias method/别名算法

alias method/别名算法

前言

一个在oi/acm比较少见的算法吧。。

从问题开始QAQ

有\(N(N>1)\)个物品，有属性\(d_i\),如今要平均放进\(N-1\)个盒子里，每一个盒子最多存在两个物品，物品能够分割。

当N=2时。

显然两个全放进一个盒子里就好了。

当N>2时。

显然咱们能够先算出每一个盒子须要放多少，设其为\(K\)，因而\(\sum{d_i}=(N-1)K\)。
一共\(N\)个物品要放进\(N-1\)个盒子中，设其中\(d_i\)的最大值为\(mx\),最小值为\(mn\)。
性质1：\(mn<K\)
性质2：\(mn+mx>K\)
这两个性质比较显然，均可以用反证法证实的。
因而咱们能够直接让\(mn\)和部分\(mx\)来凑成K，多余部分放回去，因而物品和盒子可数均减小1，递归便可。

怎么实现

咱们须要维护增长元素，删除元素，询问最大最小值的一个数据结构，显然能够用个multiset，因而就能轻松作到O(nlogn)。

进一步优化

若是要维护最大最小值的话，就很难不带log。（悲）。然而实际上咱们也并不是必须取最值。
咱们考虑把物品分红两类，一类是\(d_i<K\),其他是另外一类。
因而咱们能够每次在两个类中各取一个凑一个K，而后放回剩余。
然而这么作会有个问题，到后面可能存在全部\(d_i\)全都小于\(K\)的状况。
其实这个状况下能够证实任意两个物品都能知足加起来不小于K（就不证了吧QAQ），因而按顺序合并就好。
因而如今的作法就能够作到空间O(n),时间O(n)了。

应用

一个随机事件包含\(n\)种状况，每种状况发生的几率分别为：\(p_i\)，问怎么用产生符合这个几率的采样方法。
这种问题的解决方法不少，好比按照几率构造数组而后在上面随机。。
然而许多方法时间空间复杂度不够优秀，或者在大量数据采样时不能较好的符合发生几率。
应用别名算法，至关因而把这些总和为1的物品分到n-1的盒子里，每次采样先随机到一个盒子，再按照盒子内的比例随机一次。
就能作到O(n)的空间和时间预处理，每次O(1)的采样，而且采样结果比较符合事件几率。