动态规划之合唱队形问题

问题描述：

  N 位同窗站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同窗出列，而不改变其余同窗的位置，使得剩下的K位同窗排成合唱队形。合唱队形要求：设K位同窗从左到右 依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，则他们的身高知足 T1<T2...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。已知全部N位同窗的身高，计算最少须要几位 同窗出列，可使得剩下的同窗排成最长的合唱队形。 

问题分析：

  假设第i位同窗为个子最高的同窗，咱们先对其左边的同窗求最大上升子序列，再对其右边的同窗求最大降低子序列，而后二者相加再减1（第i位同窗被重复计算 了一次），便获得第i位同窗为最高个时所能排成的最长合唱队形。若是咱们对这N位同窗都执行此操做，即可获得每位同窗为最高个时所能排成的最长合唱队形， 选取其中最长的合唱队形做为最终的结果。  

 从 上述的分析能够看出，咱们能够将问题分红互相不独立的子问题，只要获得子问题的最优解，即可获得整个问题的最优解。咱们能够用一张表来记录全部已解决问题 的答案，从而避免了重复计算。这里的一个关键问题即是：如何获得第i位同窗的最大上升子序列和最大降低子序列。假如这N位同窗的身高分别 为：176，163，150，180，170，130，167，160，咱们用up[i]来记录第i位同窗的最大上升子序列。若是要获得180同窗为最高 个时的最大上升子序列即up[4],咱们只需求出前3位同窗所能造成的最大上升子序列，将其加1便可；要获得前3位同窗所造成的最大上升子序列，便要求得 前2位同窗的最大上升子序列，再加上1便可；一样要获得前2位同窗的最大上升子序列，便要求得第1位同窗的最大上升子序列。所以这是一个递推关系，只要我 们将前i个同窗为最高个时作造成的最大上升子序列的值记录下来，取其中最大值加1即可获得第i位同窗的最大上升子序列即up[i]。同理咱们用 down[i]来记录第i位同窗的最大降低子序列，只要咱们将后（N-i）位同窗每位同窗为最高个时的最大降低子序列记录下来，取其中最大者再加1即可得 到第i位同窗为最高个时的最大降低子序列即down[i]。那么，第i位同窗为最高个时作能造成的最长合唱队形的长度为up[i]+down[i]-1。 求得全部同窗为最高个时所能造成的最长合唱队形的长度，取其中最大值为最终的结果。

[java] view plain copy

 

1. public class Main {  
2.     public static void main(String[] args) {  
3.         int []high={176,163,150,180,170,130,167,160};  
4.         int []up=new int[8];   //记录每位同窗的最大上升子序列  
5.         int []down=new int[8]; //记录每位同窗的最大降低子序列  
6.         for(int i=0;i<high.length;i++){  
7.             up[i]=1; //每位同窗的最大上升子序列初始值为1  
8.             for(int j=0;j<i;j++){  
9.                 if((high[j]<high[i])&&(up[i]<up[j]+1)) up[i]=up[j]+1; //前i位同窗的最大上升子序列的最大值再加1  
10.             }  
11.         }  
12.         for(int i=high.length-1;i>=0;i--){  
13.             down[i]=1;  
14.             for(int j=high.length-1;j>i;j--){  
15.                 if((high[j]<high[i])&&(down[i]<down[j]+1)) down[i]=down[j]+1; //后N-i位同窗的最大降低子序列的最大值再加1  
16.             }  
17.         }  
18.         int max=0; //设每位同窗所造成的最长合唱队形的最大值初值为0  
19.         int index=0; //设最大值对应的索引为0  
20.         for(int i=0;i<high.length;i++){  
21.             if(up[i]+down[i]-1>max) {  
22.                 max=up[i]+down[i]-1; //求得每位同窗所造成的最长合唱队形的最大值  
23.                 index=i;  //求得对应的索引  
24.             }  
25.         }  
26.         System.out.println("最长合唱队形的长度为："+max);  
27.         System.out.println("对应的是第"+(index+1)+"位同窗，须要"+(high.length-max)+"位同窗出列");  
28.   
29.     }  
30. }