数据结构之-----排序算法理解与应用

算法的稳定性：若是待排序的两个元素Ri,Rj,其对应的关键字keyi=keyj,且在排序前Ri在Rj的前面，若是排序后Ri还在Rj的前面，则称这种排序算法是稳定的，不然称排序算法是不稳定的。

内部排序和外部排序：内部排序是指在排序期间，元素所有存放在内存中的排序。外部排序是指排序期间元素没法所有同时存放在内存中，必须在排序过程当中根据要求不断地在内外存之间移动的排序。

1.插入排序

1）插入排序：每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子序列中，直到所有记录插入完成。

void InsertSort(ElemType A[], int n) { int i, j; for (i = 2; i <= n; i++) //依此将A[2]~A[n]插入到前面已排序序列 if (A[i].key < A[i - 1].key) //若A[i]的关键码小于其前驱，须将A[i]插入有序表 { A[0] = A[i]; //复制为哨兵 for (j = i - 1; A[0].key < A[j].key; --j) //从后往前查找待插入位置 A[j+1]=A[j]; //向后拖动 A[j+1]=A[0]; //复制到插入位置 } }

时间复杂度：O（n2）,空间复杂度：O(1).稳定性：稳定的排序方法。

2）希尔排序：将待排序表分割成若个形如L[i，i+d，i+2d,i+3d,.....i+kd]的特殊子表，分别进行直接插入排序。当整个表呈基本有序时，在对全体记录进行一次直接插入排序。

过程：先去一个小于n的步长d1,把表中所有记录分红d1个组，全部距离为d1的倍数的记录放在同一组中，在各组中进行直接插入排序。而后取第二个步长d2<d1.重复上述过程，直到di=1,即全部记录在同一组中，再进行直接插入排序。

增量求法：目前不统一，通常采用d1=n/2,，​最后一个增量为1.

void ShellSort(ElemType A[], int n) { //对顺序表做希尔插入排序，和插入排序算法相比，作了如下修改：先后记录位置增量是dk，不是1.A[0]只是暂存单元，不是哨兵，j<0时，插入位置已达 for(dk=len/2;dk>=1;dk=dk/2) //步长变化 for(i=dk+1;i<=n;i++) if (A[i].key < A[i - dk].key) //需将A[i]插入到有序增量子表 { A[0]=A[i]; //暂存在A[0] for (j = i - dk; j > 0 && A[0].key < A[j].key; j -= dk) A[j+dk]=A[j]; A[j + dk] = A[0]; } }

时间复杂度：当n在某个特定范围时为​，最坏状况下为：​，空间复杂度O(1)

不稳定排序

2.交换排序

冒泡排序：将设待排序表长为n,从后往前两两比较相邻元素的值，若为逆序，则交换他们，直到序列比较完。此为一趟冒泡。结果为将最小的元素交换到待排序的第一个位置。下一趟冒泡时，前一趟肯定的最小元素再也不参与比较，待排序列减小一个元素，每趟排序吧最小元素放到最终位置，这样最多作n-1趟冒泡就把全部元素排好。

void BobbleSort(ElemType A[], int n) { //用冒泡排序法将序列A中的元素按从小到达排列 for (i = 0; i < n - 1; i++) { flag = false; //表示本趟冒泡是否发生交换的标志 for (j = n - 1; j > i; j--) //一趟冒泡过程 if (A[j - 1].key > A[j].key)//若为逆序 { swap（A[j-1],[j]); //交换 flag = true; } if (flag == false) return; } }

1. 快速排序：快速排序是对冒泡排序的一种改进。其基本思想是基于分治法的：在待排序L[1....n]中任意取一个元素pivot做为基准，经过一趟排序将待排序表划分为独立的两部分L[1...k-1],L[k+1....n]使得L[1....k-1]中全部元素小于等于pivot,L[k+1...n]中全部元素大于pivot,则pivot则放置在最终位置上L(k),这个过程称为一趟快速排序。然后分别递归的对两个子表重复上述过程，直到每一部份内只有一个元素或空为止（全部元素放置在最终位置上）

过程：首先假定划分算法已知，记为partition（），返回上述中的k,L(k)已经在最终位置上，因此能够先对表进行划分，然后对表调用一样的排序操做。递归的调用快速排序算法进行排序。程序结构以下：

void QuickSort(ElemType A[], int low, int high) { if (low < high) //边界条件，即递归跳出的条件 {//partition() 就是划分操做，将表A[low...high]划分为知足上述条件的两个子表 int pivotpos = partition(A,low,high); //划分 QuickSort(A,low,pivotpos-1); //依此对两个子表进行递归排序 QuickSort(A,pivotpos+1,high); } } //不难看出，快速排序的关键在于划分操做，性能取决于划分操做的好坏 //快速排序分治partition有两种方法

1)两个下标分别从首，尾向中间扫描的方法

假设每次都是以当前表中第一个元素做为枢纽值对表进行划分，则必须将表中比枢纽值大的元素向右移动，比枢纽值小的元素向左移动，使得一趟partition()操做后，表的元素被枢纽值一分为二。

int partition(elemtype A[], int low, int high) { elemtype pivot = A[low]; //将当前表中第一个元素设为枢纽值，对表进行划分 wihle(low < high) //循环跳出条件 { while (low < high&&A[high] >= pivot) --high; A[low] = A[high]; //将比枢纽值小的元素移动到左端 while (low < high&&A[low <= pivot) low++; A[high]=A[low]; //将比枢纽值大的元素移动到右端 } A[low] = pivot; //枢纽元素存放到最终位置 return low; //返回存放枢纽的最终位置 }

若初始序列3，8，7，1，2，5，6，4排序过程以下：

2 8 7 1 2 5 6 4

2 8 7 1 8 5 6 4

2 1 7 1 8 5 6 4

2 1 7 7 8 5 6 4

2 1 3 7 8 5 6 4    //A[high]A[low]

2）两个指针索引一前一后逐步向后扫描

int partition(elemtype A[], int p, int r) { elemtype x = A[r]; //以最后一个元素，A[r]为主元 int i = p - 1; for (int j = p; j <= r - 1; ++j) { if (A[j] <= x) { ++i; exchange(A[i],A[j]); } } exchange(A[i+1],A[r]); return i + 1; }//若初始化序列3 8 7 1 2 5 6 4则排序的大体以下： 3 8 7 1 2 5 6 4 //3与3交换，不移动元素，比较一次 3 1 7 8 2 5 6 4 //8与1交换，交换依此，比较三次 3 1 2 8 7 5 6 4 //7与2交换，交换一次，比较一次 3 1 2 4 7 5 6 8 //8与4交换，交换一次，比较两次

快速排序是全部内部排序算法中平均性能最优的排序算法。在快速排序算法中，并不产生有序子序列，但每一趟排序后将一个元素（基准元素）放在其最终位置上。当初始排序表基本有序或基本逆序是，就获得最坏状况下的时间复杂度O（n2）.

A快排一次排序的应用

A)区分数组中大小写字母（编写函数，让小写字母在全部大写字母以前）

bool isUpper(char a)
{
	if (a >= 'A'&&a <= 'Z')
		return true;
	return false;
}

bool isLower(char a)
{
	if (a >= 'a'&&a <= 'z')
		return true;
	return false;
}

void partition(char A[], int low, int high)  //开排一次排序第一种策略的另一种实现
{
	while (low < high)
	{
		while（low < high&&isUpper(A[high])）high--;
		while (low < high&&islower(A[low]))low++;
		char temp = A[high];
		A[high]=A[low];
		A[low] = temp;
	}

}
void main()
{
	char a[7] = {'a','A','Z','d','B','s','b'};
	partition(a,0,6);
}

 

b)给定含n个元素的整型数组a,包含0和非0,对数组进行排序，使排序后知足1.排序后的全部0元素在前，非零元素在后，且非零元素排序先后相对位置不变，不能使用额外的存储空间。

void partition(int A[], int p, int r) { int i = r + 1; for (int j = r; j >= p; j--) //从后往前遍历，也可从前日后遍历 { if (A[j] != 0) { --i; int temp = A[i]; A[i]=A[j]; A[j] = temp; } } } void main() { int a[7] = {0,3,0,2,1,0,0}; partition(a,0,6); }

c)荷兰国旗问题

​

while (current <= end) { if (array[current] == 0) { swap(array[current],array[begin]); current++; begin++; } else if (array[current == 1]) { current++; } else { //array[current]==2 swap(array[current], array[end]); end--; } }

 

D)输入n个整数，输出其中最小的k个。

思路1：将输入的n个数排序，这样排在最前面的k个数就是最小的k个数。

思路2：假设最小的k个数中最大的为A。在快排中，先在数组中随机选择一个数字，而后调整数组中数字的顺序，使得比选中数字小的数字排在他的左边，比选中数字大的排在他的右边（快排一次）

若选中的数字下表恰好是k-1(从0开始)，那么这个数字（A）加上左侧的k-1个数就是最小的k个数。若是他的小标大于k-1,则A位于他的左侧，咱们能够在他的左边部分的数组中查找。若小标小于k-1，那么A应该位于他的右边，咱们能够接着在他的右边部分中寻找。（发现这是一个递归问题，可是咱们找到的k个数不必定是有序的）

//input是输入数组，元素个数为n,output用来保存最小的k个数的数组。 void getLeastKNum(int* input, int n, int* output, int k) { if (input == NULL || output == NULL || k > n || n <= 0 || k <= 0） return; int start = 0; int end = n - 1; int index = partition(intput, start, end);//一次划分函数见前 while (index != k - 1) { if (index > k - 1) { end = index - 1; index = partition(input, start, end); } else { start = index + 1; index = partition(input, start, end); } } for (int i = 0; i < k; i++) output[i] = input[i]; } //该算法的平均时间复杂度为O(n)

3.选择排序

思想：每一趟在后面n-i+1(i=1,2..n-1)个待排序元素中选取关键字最小的元素，做为有序子序列的第i个元素，直到n-1趟作完，待排序元素只剩下1就不用再选了。

1)简单选择排序

 

void SelectSort(elemtype A[], int n) {//对表A做简单选择排序，A[]从0开始存放元素 for(i=0;i<n-1;i++） //总共进行n-1趟排序 { min=i; //记录最小元素位置 for(j=i+1;j<n;j++) if (A[j]<A[i]) //在A[i..n-1]中选择最小元素 min=j; //更新最小元素位置 if(min!=i)swap(A[i],A[min]); //与第i个位置交换 } }

 

空间复杂度：O(1)。时间复杂度：元素移动较少不超过3（n-1）(一次swap三次元素移动)。最好移动0次（此时表已经有序）。可是元素间比较的次数与序列的初始状态无关，始终为n(n-1)/2次。时间复杂度为O（n2）.

2）堆排序

堆排序是一种树形选择排序方法，在排序过程当中将L[1..n]视为一棵彻底二叉树的顺序村粗结构。利用彻底二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的元素。

堆排序的实质是构建初始堆，对初始序列建堆，就是一个反复筛选的过程。

A)根据初始关键字序列（20，18，22，16，30，19）构建初始大根堆。

void BuildMaxHeap(elemtype A[], int len) { for (int i = len / 2; i > 0; i--) AdjustDown(A,i,len); } void AdjustDown(elemtype A[], int k, int len) {//adjustDown将元素k向下进行调整，堆主要的两个函数之一，另外一个adustun A[0]=A[k]; //A[0] 暂存 for (i = 2 * k; i <= len; i = i * 2) //沿k较大的子节点向下筛选 { if（i < len&&A[i] < A[i + 1]） i++; //取key较大的子节点的下标 if (A[0] >= A[i]) break; //筛选结束 else { A[k]=A[i]; //将A【i】调到双亲结点 k = i; //修改k值，继续向下筛选 } } A[k] = A[0]; //被筛选结点的值放入最终位置 }

在元素个数为n的序列上建堆,其时间复杂度为O(n),这说明能够在线性时间内，将一个无序数组建成一个大顶堆。

B)堆排序的思想

因为堆自己的特色（以大顶堆为例），堆顶元素就是最大值。输出堆顶元素后，一般将堆底元素放入堆顶，此时根节点已不知足堆的性质，将堆顶元素向下调整继续保持大顶堆性质，输出堆顶元素，重复，直到仅剩一个元素为止。

void HeapSort(elemtype A[], int len) { BuildMaxHeap(A,len); //初始建堆 for (i = len; i > 1; i--) //n-1趟交换和建堆过程 { swap(A[i],A[1]); //输出堆顶元素（和堆底元素交换） adjustDown(A,1,i-1); //整理，把剩余的i-1个元素整理成堆 } }

C)堆的插入和删除

删除堆顶元素时，先将堆的最后一个元素与堆顶元素交换，有序性质破坏，须要堆根结点进行向下调整。

对堆进行插入操做时，先将新结点放在堆的末端，再对这个新结点执行向上调整操做，大顶堆插入操做以下图所示：

​

向上调整算法以下所示：

D)堆排序的应用（最小k个数）

输入n个整数，输出其中最小的k个.（用堆排序来解决，适合处理海量数据）

思路：首先读入k个数建立一个大小为k的大顶堆，而后依此读入剩余数据，若是当前数据比大顶堆的堆顶小，则用这个数代替当前堆顶元素，并调整时期保持大顶堆性质，若是当前数据比堆顶大，则此数不可能为最小的k个整数之一，故抛弃此数。（时间复杂度:O(nlogk)）

 

int a[n]; //数组a中存放输入的n个数 int b[k + 1];//从a中依此读入k个数a[0].....a[k-1]第一个数存在b[1]中 BuildMaxHeap(b,k);//调整b为大顶堆 for (int i = k; i < n; i++) { if (a[i] > a[1]) continue; else { b[1] = a[i]; adjustdown(b,1,k); } } //当须要求最大的k个数时，只需将大顶堆换位小顶堆。

 

4.归并排序

1. 二路归并排序（内部排序，基于分治算法的，使用辅助空间）

含义：将两个或两个以上的有序表组合成一个新的有序表。假定待排序表含有n个记录，则可视为n个有序子表，每一个子表长度为1，两两归并，获得​长度为2的有序表，再两两归并...如此重复，直到合成一个长度为n的有序表为止。

过程：分解：将n个元素的待排序表分红各含n/2个元素的子表，采用二路归并算法对两个子表递归的进行排序。

合并：合并两个已排序的子表获得排序结果。

void MergeSort(elemtype A[], int low, int high) { if (low < high) { int mid = (low + high) / 2; //对中间划分两个子序列 mergeSort(A,low,mid); //对左侧子序列进行递归排序 mergeSort(A,mid+1,high); //对右侧子序列进行递归排序 merge(A, low, mid, high); } }

Merge()的功能时将先后相邻的两个有序表归并为一个有序表的算法。设两段有序表A【low...mid】A[mid+1...high]存放在同一顺序表中相邻的位置上，先将他们复制到辅助数组B中，每次从对应B中的两个段取出一个记录进行关键字比较，将较小者放入A中，当输入B中有一段超出其表长，则将另外一段剩余部分直接复制到A中。

elemtype *B = (elemtype *)malloc(n + 1) * sizeof(elemtype)); //辅助数组B void Merge(elemtype A[], int low, int mid, int high) { //表A的两段A[low...mid]和A[mid+1...high]各自有序，将他们合并成一个有序表 for (int k = low; k <= high; k++) B[k]=A[k]; //加A中全部元素复制到B中 for (int i=low, j = mid + 1, k = i; i <= mid&&j <= high; k++) { if (B[i] < B[j]) //比较B的左右两段元素 A[k] = B[i++]; //将较小的值复制到A中 else A[k]=B[j++]; } while (i <= mid) A[k++]=B[i++]; //若第一个表未检测完，复制 while (j <= high) A[k++] = B[j++]; //若第二表未检测完，复制 }//最后两个while循环中只有一个会执行

 A)合并两个排好序的链表（连个递增排序链表，合并他们使新链表结点仍然是按照递增排序的）

struct LIstNode { int value; ListNode *pNext; }; //原理：二路归并排序的merge函数，递归代码以下： ListNode* mergeList(ListNode* list1, ListNode* list2) { if (list1 == NULL) return list2; else if (list2 == NULL) return list1; ListNode* pHead = NULL; if (list1->value < list2->value) { pHead = list1; phead->pNext = mergeList(list1->pNext, list2); } else { pHead = list2; phead->pHead = mergeLIst(list1,list2->pNext); } return pHead; }

b)给定有序数组a,b.已知数组a末尾有足够空间容纳b,请实现将b合并到a中。函数头以下：

Void merge（int a[],int b[],int n,int m）//n为数组a的元素个数，m为数组b的元素个数

思路：先计算总元素个数，从数组末尾（最大元素）开始归并。

void merge(int a[], int b[], int n, int m) { int k = m + n - 1； int i = n - 1; int j = m - 1; while (i> = 0 && j >= 0) { if (a[i] > b[j]) { a[k--] = a[i--]; } else { a[k--] = a[j--]; } } while (j >= 0) { a[k--]=b[j--]; } }

C)原地归并排序（二叉归并排序 内部排序，不适用辅助空间）

原地归并排序不须要辅助数组便可归并。关键在merge这个函数。假设有两段递增的子数组arr[begin....mid-1]和arr[mid...end],但整个数组不是递增的。其中i=begin,j=mid,k=end.

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而后把i到mid-1的部分和mid到j-1的部分对调（可经过三次逆序实现）较小部分就调到前面去了，此时数组变为0 1 2 3 4 5 6 9 7 8（前面有序了，后面又是两个递增子数组，继续迭代便可）

 

void reverse(int *arr, int n) { //将长度为n的数组逆序 int i = 0, j = n - 1; while (i < j) { swap(arr[i],arr[j]);//将两个实参图解交换 i++; j--; } } void exchange(int *arr, int n, int i) //将含有n个元素的数组向左循环移位i个位置 { reverse(arr,i); reverse(arr+i,n-i); reverse(arr, n); } //数组两个有序部分合并，本节图解的实现 void merge(int *arr,int begin,int mid,int end) { int i = begin, j = mid, k = end; while (i < j&&j <= k) { int step = 0; while (i < j&&arr[i] < arr[j]) i++; while (j < k&&arr[j] <= arr[i]) j++; step++; } //arr+i为子数组首地址，j-i为子数组元素个数，j-i-step为左循环移位个数 exchange(arr+i,j-i,j-i-step); i = i + step; } void MergeSort(int *arr, int l, int r) { if (l < r) { int mid = (l + r) / 2; MergeSort(arr,l,mid); MergeSort(arr,mid+1,r); merge(arr,l,mid+1,r); } } void main() { int arr[] = {6,4,3,1,7,8,2,9,5,0}; int len = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); MergeSort(arr,0,len-1); }

D)多路归并排序（外部排序）

外部排序是指大文件的排序，即待排序的记录存储在外部存储器上，待排序的文件没法一次装入内存，须要在内存和外部存储器之间进行屡次数据交换，以达到排序整个文件的目的。

思路：外部排序最经常使用的算法是多路归并排序，即将源文件分解成多个可以一次性装入内存的部分，分别把每一部分调入内存完成排序，而后对已排序的子文件进行归并排序。

从二路到多路，增大k能够减小外存信息读写时间，但k个归并段中选择最小的记录须要比较k-1次，为了下降选出每一个记录须要的比较次数k,引入败者数。

败者树可视为一棵彻底二叉树，每一个叶结点存放各归并段在归并过程当中当前参加比较的记录，内部结点用来记忆左右子树中的失败者，让胜者网上继续进行比较，一直到根节点。若是比较两个数，大的为失败者，小的为胜利者，则根节点指向的数为最小数。

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图中第一个叶子结点为b0.k路归并的败者树深度为​，所以k个记录中选择最小关键字，最多须要​次比较，比依此比较的k-1次小得多。

案例：有20个有序数组，每一个数组有500个unsigned int元素，降序排序。要求从这10000个元素中选出最大的500ge.

思路：依此从20个有序数组中选择一个当前元素，两两比较，而后找出最大的数，循环500次，便可选择出500个最大的数。可是这里每选择一个最大元素，须要比较19次，效率低。

改进方法1：利用堆，从20个数组中各取一个数，并记录每一个数的来源数组，创建一个含有20个元素的大顶堆。此时堆顶就是最大元素，去除堆顶元素，并从堆顶元素的来源数组中取下一个元素加入堆，调整堆后再取最大值，一直这样进行500次便可。时间复杂度​，其中n为要选出的元素个数，k为有序数组个数。

改进方法2：利用败者树。从20个数组中各取一个数，并记录每一个数的来源数组，创建一个20路归并的败者树。此时败者树输出的就是最大的数，而后从最大数的来源数组继续取下一个数加入败者树，继续比较，直到输出500个数为止。时间复杂度为​其中n为要选出的元素个数，k为有序数组个数。

const int branchesLength = 20;//共有20路数组 //20个一维数组，每一个数组有500个元素，为叶子结点提供数据。本题只给出测试用的40个元素，输出最大的前10个元素。 int branches[branchesLength][500] = { {1000,900} ,{999,888} ,{1001,990} ,{887,877} ,{987,978}, {1001,901} ,{992,883}, {1005,992}, {887,877}, {987,978}, {1002,902} ,{993,884}, {1007,991}, {887,877}, {987,978}, {1003,903} ,{994,882} ,{989,900} ,{887,877} ,{987,978} }; //败者树的非叶子结点，记录数据源的索引位置，根据结点的值能够定位到所指向的数据源。 int tree[branchesLength]; //败者树的叶子结点，叶子结点和数据源是一一对应的，即第一个叶子结点记录第一个数据源的当前数据，第一个叶子结点为b0 int nodes[branchesLength]; int nodes_iterator[branchesLength] = {0};//nodes_iterator[i]记录第i路数组当前已取得第几个元素 void put(int index)//设置第index叶结点的下一个数据 { nodes[index] = branches[index][nodes_iterator[index]++]; } int get(int index)//获取第index个叶子结点的当前数据 { return nodes[index]; } //调整第index个叶子结点，具体调整为：叶子结点和父节点比较，败者留在父结点位置，胜者继续和父节点的父节点，兄弟节点比较，直到整个树的根节点。 void adjust(int index) //此函数为主要函数 { int size = branchesLength; int t = (size + index) / 2; //计算父节点 while (t > 0) { if (get(tree[t]) > get(index)) {//败者留在父节点位置 int temp = tree[t]; tree[t] = index; index = temp; } t /= 2; } tree[0] = index; } vector<int>merge() //依此读取数据源的数据进行归并排序，返回排序后的数据列表 { vector<int> list1; //记录排好序的数据 int top; int i = 0; while (i < 10) {//仅输出10个数据供测试 top = tree[0]; list1.push_back(top); i++; put(tree[0]); adjust(tree[0]); } return list1; } void init() //初始化构建败者树 { int size = branchesLength; for (int i = 0; i < size; i++) //为叶子节点赋值 put(i); int winner = 0; for (int i = 1; i < size; i++) { if (get(i) < get(winner)) { winner = i; } } for (int i = 0; i < branchesLength; i++) //非叶子节点初始化为冠军节点 tree[i] = winner; for (int i = size - 1; i >= 0; i--) //从后向前依此调整非叶子节点 adjust(i); } void main() { init(); merge(); }

 不一样排序算法的比较

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总结：

1.比较次数和初始排列无关的是选择排序。

2.在初始序列基本有序的状况下，最优的是插入排序，此时插入排序时间复杂度为O(n),其次是冒泡排序，时间复杂度也为O(n).快速排序此时性能最差，时间复杂度为​，同时快速排序在厨师序列逆序的时候，性能也最差，时间复杂度也为​

3.堆排序对初始数据集的排列顺序不敏感，在最好，最坏和平均状况下，堆排序的时间复杂度为​

4.节俭排序，一对数字不进行两次或两次以上的比较。包括（插入排序，归并排序）

5.基于比较的排序算法时间复杂度的下界（最好的时间复杂度）为：​